1977-贵州-02 解-对数化简三法

本题导读

本题考查对数化简。核心在于特殊角值化为2的幂，三种路径殊途同归。

📌【题干】

Question

（1977年贵州卷） 将下式化成最简形式：${\log }_2\cos \frac{\pi }{4}-{\log }_2\sin \frac{\pi }{6}$.

🔍【思路分析】

破题导航

$\cos \frac{\pi }{4}=2^{-\frac{1}{2}}$、$\sin \frac{\pi }{6}=2^{-1}$；或合并为 ${\log }_2\frac{\sqrt{2}/2}{1/2}={\log }_2\sqrt{2}$。

✅【答案】

Success

$\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

法一：原式 $={\log }_2\frac{\sqrt{2}}{2}-{\log }_2\frac{1}{2}=\frac{1}{2}{\log }_{2}2-{\log }_2{2}^{-1}=\frac{1}{2}-(-1)=\frac{1}{2}$。法二：原式 $={\log }_2{2}^{-\frac{1}{2}}-{\log }_2{2}^{-1}=-\frac{1}{2}-(-1)=\frac{1}{2}$。法三：原式 $={\log }_2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}÷\frac{1}{2}\right)={\log }_2\sqrt{2}=\frac{1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数化简三法

核心方法：化同底三路

避坑指南：$\cos \frac{\pi }{4}=2^{-\frac{1}{2}}$、$\sin \frac{\pi }{6}=2^{-1}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对数求值

结论推广：$\frac{1}{2}$

方法推广：特殊角值先化成 2 的幂

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1977-广西百色理-04 解-对数方程求x
• 1977-广西理-02 解-对数式化简