1977-广西文-01 解-综合小题五连

本题导读

本题考查五项基础。核心在于括号符号、提公因式、平方关系、诱导公式与对数合并各按基本方法。

📌【题干】

Question

（1977年广西卷(文)） 计算：(1)$5\frac{3}{4}-2\left[{\left(\frac{1}{2}\right)}^2-3\times \frac{3}{4}\right]÷\frac{2}{5}$.(2)分解 $x^3-5x^2+4x$ 的因式.(3)化简 $\frac{1}{{\sin }^2\alpha }-{\cot }^2\alpha$.(4)计算 $\cot 135^{\circ }+\cos (-60^{\circ })-{\tan }^{2}60^{\circ }+\sin 30^{\circ }$.(5)不查表求 $\lg \frac{3}{7}+\lg 70-\lg 3$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

(1)括号内 $\frac{1}{4}-\frac{9}{4}=-2$；(2)先提 $x$；(3)通分用 $1-{\cos }^2\alpha ={\sin }^2\alpha$；(4)逐项代值；(5)全化 $\lg 3$、$\lg 7$、$\lg 10$。

✅【答案】

Success

(1)$15\frac{3}{4}$(2)$x(x-4)(x-1)$(3)$1$(4)$-3$(5)$1$

✍【详细解析】

Abstract

(1)原式 $=5\frac{3}{4}-2\left[\frac{1}{4}-\frac{9}{4}\right]\times \frac{5}{2}=5\frac{3}{4}-2\times (-2)\times \frac{5}{2}=5\frac{3}{4}+10=15\frac{3}{4}$。 (2)原式 $=x(x^2-5x+4)=x(x-4)(x-1)$。 (3)原式 $=\frac{1}{{\sin }^2\alpha }-\frac{{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }=\frac{1-{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }=\frac{{\sin }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }=1$。 (4)原式 $=-\cot 45^{\circ }+\cos 60^{\circ }-{\tan }^{2}60^{\circ }+\sin 30^{\circ }=-1+\frac{1}{2}-3+\frac{1}{2}=-3$。 (5)原式 $=\lg 3-\lg 7+\lg 7+\lg 10-\lg 3=\lg 10=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：综合小题五连

核心方法：五小题分步击破

避坑指南：(1)括号内 $-\frac{9}{4}\times 2\times \frac{5}{2}$ 符号别错；(4)$\cot 135^{\circ }=-1$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：综合小题

结论推广：(1)$15\frac{3}{4}$(2)$x(x-4)(x-1)$(3)$1$(4)$-3$(5)$1$

方法推广：平方关系与对数合并是常客

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1977-广西百色文-01 解-带分数混合运算
• 1977-广西理-03 解-诱导公式求值