1977-山东B-09 解-等底等高侧面积比较

本题导读

本题考查侧面积比较。核心在于统一用底面积 $S$ 与高 $h$ 表达：棱锥侧 $\sqrt{S^2+4S{h}^2}$，圆锥侧 $\sqrt{S^2+\pi S{h}^2}$，由 $\pi <4$ 得圆锥侧面积较小。

📌【题干】

Question

（1977年山东B卷） 试比较等底等高的正四棱锥和正圆锥的侧面积，看哪个的侧面积较小.

🔍【思路分析】

破题导航

设底面积为 $S$、高为 $h$：正四棱锥底边 $\sqrt{S}$、斜高 $\sqrt{\frac{S}{4}+h^2}$，侧面积 $=\sqrt{S^2+4S{h}^2}$；圆锥 $r=\sqrt{\frac{S}{\pi }}$、母线 $\sqrt{\frac{S}{\pi }+h^2}$，侧面积 $=\sqrt{S^2+\pi S{h}^2}$；$\pi <4$ 收尾。

✅【答案】

Success

正圆锥的侧面积较小

✍【详细解析】

Abstract

设正四棱锥和圆锥的底面积为 $S$，高为 $h$。则正四棱锥底面边长为 $\sqrt{S}$，斜高为 $\sqrt{\frac{S}{4}+h^2}$。圆锥的底面半径 $r=\sqrt{\frac{S}{\pi }}$，母线 $l=\sqrt{\frac{S}{\pi }+h^2}$。 $S_{正四棱锥侧}=4\cdot \frac{1}{2}\cdot \sqrt{S}\cdot \sqrt{\frac{S}{4}+h^2}=\sqrt{S^2+4S{h}^2}$； $S_{圆锥侧}=\pi \cdot \sqrt{\frac{S}{\pi }}\cdot \sqrt{\frac{S}{\pi }+h^2}=\sqrt{S^2+\pi S{h}^2}$。 因为 $\pi <4$，所以 $S^2+\pi S{h}^2<S^2+4S{h}^2$，所以 $S_{圆锥侧}<S_{正四棱锥侧}$，即正圆锥的侧面积较小。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等底等高侧面积比较

核心方法：统一用底面积 S 与高 h 表达

避坑指南：棱锥 $\sqrt{S^2+4S{h}^2}$ vs 圆锥 $\sqrt{S^2+\pi S{h}^2}$，比 $\pi$ 与 $4$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：比较

结论推广：圆锥侧面积较小

方法推广：统一表达式比系数

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1989-全国文-03 单-圆锥的侧面积
• 1991-上海-07 填-圆锥的侧面积