2006-重庆卷理-02 单-等差数列前 n 项和公式

本题导读

本题核心考查等差数列的对称性质与前 $n$ 项和公式的结合运用。解题时应避免常规的通过联立求首项 $a_{1}$ 和公差 $d$ 的繁琐计算，利用“整体代换”可以实现快速求解。

📌【题干】

Question

（2006年重庆卷(理)）在等差数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{4} + a_{6} = 12$ ， $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，则 $S_{9}$ 的值为 ()

A. $48$ 　　B. $54$ 　　C. $60$ 　　D. $66$

🔍【思路分析】

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方法一：等差中项与求和通式结合 根据等差数列的对称性质，由 $a_{4} + a_{6} = 12$ 可知等差中项 $2 a_{5} = a_{4} + a_{6} = 12$ ，从而求得 $a_{5} = 6$ 。结合等差数列前 $n$ 项和的中项性质公式 $S_{9} = 9 a_{5}$ ，直接得出答案。

方法二：两端项求和公式法 观察前 $9$ 项和公式 $S_{9} = \frac{9 ( a _{1} + a _{9} )}{2}$ 。依据等差数列性质，当下标满足 $1 + 9 = 4 + 6$ 时，有 $a_{1} + a_{9} = a_{4} + a_{6} = 12$ 。整体代入求和公式直接得出计算结果。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

方法一（等差中项法）： 因为数列 ${a_{n}}$ 是等差数列，根据等差数列的性质有： $a_{4} + a_{6} = 2 a_{5} = 12$ ，解得： $a_{5} = 6$ 。由等差数列前 $n$ 项和的奇数项特殊公式可知： $S_{9} = \frac{9 ( a _{1} + a _{9} )}{2} = 9 a_{5}$ 代入 $a_{5} = 6$ 得： $S_{9} = 9 \times 6 = 54$

方法二（对称项整体代换法）： 根据等差数列的性质，若 $m + n = p + q$ ，则 $a_{m} + a_{n} = a_{p} + a_{q}$ 。因为 $1 + 9 = 4 + 6 = 10$ ，所以 $a_{1} + a_{9} = a_{4} + a_{6} = 12$ 。将该整体代入等差数列前 $n$ 项和公式中： $S_{9} = \frac{9 ( a _{1} + a _{9} )}{2} = \frac{9 \times 12}{2} = 9 \times 6 = 54$

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列对称项基本性质（若 $i + j = p + q$ ，则 $a_{i} + a_{j} = a_{p} + a_{q}$ ）。

核心方法：整体代换思想。

避坑指南：切忌使用基本量法（即设首项 $a_{1}$ 和公差 $d$ 强行解方程组），由于题目只给出了一个方程 $a_{1} + 3 d + a_{1} + 5 d = 12$ ， $a_{1}$ 和 $d$ 本身是无法独立解出的，盲目拆项容易导致解题陷入僵局。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题源于人教A版选择性必修第二册“等差数列的前 $n$ 项和”章节的经典性质结论题。结论推广: 对于项数为奇数的等差数列求和，恒有 $S_{2 k - 1} = (2 k - 1) a_{k}$ 成立，其中 $a_{k}$ 为中间项。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

16.05 对称性问题

19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

2007-安徽文-03 单-等差数列前 n 项和

2007-辽宁文-05 单-等差数列和的性质

2007-重庆卷理-01 单-等差中项性质

∑ ( Math )

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