2006-重庆文-21 解-奇函数定参与恒成立

本题导读

本题考查奇函数。核心在于奇函数性质定参、恒成立转化。

📌【题干】

Question

（2006年重庆卷(文)） 已知定义域为 $\mathbf{R}$ 的函数 $f(x)=\frac{-2^x+b}{2^{x+1}+a}$ 是奇函数。

(1) 求 $a,b$ 的值；

(2) 若对任意的 $t\in \mathbf{R}$，不等式 $f(t^2-2t)+f(2t^2-k)<0$ 恒成立，求 $k$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) 令 $u=2^x>0$，则 $f(x)=\frac{b-u}{2u+a}$。
2. $f(-x)=\frac{b-u^{-1}}{2u^{-1}+a}=\frac{bu-1}{2+au}$；由奇函数 $f(-x)=-f(x)=\frac{u-b}{2u+a}$。
3. 交叉相乘 $(bu-1)(2u+a)=(u-b)(2+au)$，比较系数得 $a=2b$、$ab=2$，$b=\pm 1$，$a=\pm 2$ 同号。
4. $a=-2$ 时 $x=0$ 使 $2^{x+1}+a=0$，与定义域 $\mathbf{R}$ 矛盾，故 $a=2,b=1$。
5. (2) $f(x)=\frac{1-2^x}{2(1+2^x)}$。令 $u=2^{t^2-2t},v=2^{2t^2-k}$，则 $f(t^2-2t)+f(2t^2-k)=\frac{1-uv}{(1+u)(1+v)}$，分母为正，故不等式等价于 $uv>1$。
6. $uv=2^{3t^2-2t-k}>1⟺3t^2-2t-k>0$ 恒成立，即 $3{\left(t-\frac{1}{3}\right)}^2-\frac{1}{3}-k>0$ 恒成立，$-\frac{1}{3}-k>0$，$k<-\frac{1}{3}$。

✅【答案】

Success

(1) $a=2$，$b=1$

(2) $k<-\frac{1}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）令 $u=2^x$，则 $u>0$，且 $f(x)=\frac{b-u}{2u+a}$．由 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$，$2u+a$ 对一切 $u>0$ 均不为零． 又 $f(x)$ 是奇函数，$f(-x)=\frac{bu-1}{2+au}$，且 $f(-x)=-f(x)=\frac{u-b}{2u+a}$，故 $(bu-1)(2u+a)=(u-b)(2+au).$ 展开比较两边关于 $u$ 的系数：$2b=a$、$ab=2$，得 $b=\pm 1$、$a=\pm 2$（$a,b$ 同号）． 当 $a=-2$ 时，$x=0$ 使 $2^{x+1}+a=0$，与定义域为 $\mathbf{R}$ 矛盾，故 $a=2$，$b=1$．

（2）代入得 $f(x)=\frac{1-2^x}{2(1+2^x)}$．令 $u=2^{t^2-2t}$、$v=2^{2t^2-k}$，则 $u>0$、$v>0$，且 $f(t^2-2t)+f(2t^2-k)=\frac{1-uv}{(1+u)(1+v)}.$ 分母恒为正，故原不等式等价于 $uv>1$，即 $2^{3t^2-2t-k}>1$，也即 $3t^2-2t-k>0$ 对任意 $t\in \mathbf{R}$ 恒成立． 配方 $3t^2-2t-k=3{\left(t-\frac{1}{3}\right)}^2-\frac{1}{3}-k$，其最小值为 $-\frac{1}{3}-k$，须 $-\frac{1}{3}-k>0$，故 $k<-\frac{1}{3}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：奇函数定参与恒成立

核心方法：$f(x)=\frac{-2^x+b}{2^{x+1}+a}$ 奇函数，$u=2^x$：$f(x)=\frac{b-u}{2u+a}$；由 $f(-x)=-f(x)$ 比较系数得 $a=2b,ab=2$，$a=2,b=1$（$a=-2$ 使 $x=0$ 分母为 0 舍）；(2) $f(x)=\frac{1-2^x}{2(1+2^x)}$，$f(t^2-2t)+f(2t^2-k)<0$ ⟺ $2^{3t^2-2t-k}>1$ ⟺ $3t^2-2t-k>0$ 恒成立，$k<-\frac{1}{3}$

避坑指南：奇函数定义域为 $\mathbf{R}$ 排除 $a=-2$；把 $f$ 化为 $\frac{1-u}{2(1+u)}$ 型，和式 $<0$ ⟺ $uv>1$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 奇函数定参与恒成立

结论推广: 奇函数比较系数定参；化为 $\frac{1-u}{2(1+u)}$ 型处理不等式

方法推广: 定义域为 $\mathbf{R}$ 排除分母零点；恒成立化二次判别

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 20.08 恒成立问题——隐零点问题

类题演练 (Links)

• 2010-福建卷文-22 解-三次函数切线单调与中心对称
• 2008-北京文-17 解-奇函数定参与三次函数单调
• 2010-重庆卷文-19 解-奇函数导数最值
• 2008-大纲Ⅱ文-21 解-三次函数极值与最值恒成立