2003-全国卷理-19 解-指数函数的单调性

本题导读

本题主要考查指数函数的性质、含绝对值不等式恒成立问题的求解以及复合命题的逻辑推理。解题的关键在于分别求出命题 $P$ 和命题 $Q$ 成立时参数 $c$ 的取值范围，再利用“有且仅有一个正确”（即一真一假）的逻辑关系，进行分类组合求解。

📌【题干】

Question

（2003年全国卷(理)） 已知 $c>0$，设 $P$: 函数 $y=c^x$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递减；$Q$: 不等式 $x+|x-2c|>1$ 的解集为 $\mathbf{R}$.如果 $P$ 和 $Q$ 有且仅有一个正确，求 $c$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析命题 $P$：由指数函数的单调性可知，当底数满足 $0<c<1$ 时，函数 $y=c^x$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递减。

2. 分析命题 $Q$：不等式的解集为 $\mathbf{R}$，即不等式 $x+|x-2c|>1$ 对任意实数 $x$ 恒成立。由于已知 $c>0$，可按零点 $x=2c$ 对 $x$ 进行分段讨论，去掉绝对值符号，求出每段上不等式恒成立时 $c$ 的范围。

3. 逻辑推理求解：根据“$P$ 和 $Q$ 有且仅有一个正确”，分为“$P$ 真 $Q$ 假”和“$P$ 假 $Q$ 真”两种情况分别列出不等式组，求解后取并集。

✅【答案】

Success

$c$ 的取值范围为 $\left(0,\frac{1}{2}\right]\cup [1,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求命题 $P$ 正确时 $c$ 的取值范围 因为 $c>0$，函数 $y=c^x$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递减，根据指数函数的性质，底数必须小于 1。 所以命题 $P$ 正确 $⟺0<c<1$。

第二步：求命题 $Q$ 正确时 $c$ 的取值范围 命题 $Q$ 表示不等式 $x+|x-2c|>1$ 在 $\mathbf{R}$ 上恒成立。 因为 $c>0$，所以 $2c>0$。通过对 $x$ 分段去绝对值：

1. 当 $x\ge 2c$ 时，原不等式化为： $x+(x-2c)>1⟹2x>2c+1⟹x>c+\frac{1}{2}$ 要使此不等式在 $x\ge 2c$ 时恒成立，只需自变量的下界满足： $2c>c+\frac{1}{2}⟹c>\frac{1}{2}\text{(1)}$

2. 当 $x<2c$ 时，原不等式化为： $x-(x-2c)>1⟹2c>1⟹c>\frac{1}{2}\text{(2)}$

综合 ① ②，要使不等式在整个实数集上恒成立，参数必须满足： $c>\frac{1}{2}$ 所以命题 $Q$ 正确 $⟺c>\frac{1}{2}$。

第三步：分类讨论求解 $c$ 的取值范围 根据题意，“$P$ 和 $Q$ 有且仅有一个正确”意味着两者一真一假，分两种情况讨论：

情况 1：$P$ 正确且 $Q$ 错误 $\{\begin{array}{l}0<c<1\\ c\le \frac{1}{2}\end{array}⟹0<c\le \frac{1}{2}$

情况 2：$P$ 错误且 $Q$ 正确 $\{\begin{array}{l}c\ge 1\\ c>\frac{1}{2}\end{array}⟹c\ge 1$

综合上述两种情况，参数 $c$ 的取值范围是： $\left(0,\frac{1}{2}\right]\cup [1,+\infty )$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：指数函数的底数分类，绝对值不等式分段消去法，逻辑非（命题的否定形式）。
2. 核心方法：逻辑划分法。通过解决两个独立的子命题范围，将逻辑语言（有且仅有一个正确）转化为集合的交、并、补代数运算。
3. 避坑指南：

   • 求解命题 $Q$ 的恒成立问题时，当 $x\ge 2c$ 时解得 $x>c+\frac{1}{2}$。由于 $x$ 已经有限制 $x\ge 2c$，要保证区间 $[2c,+\infty )$ 上的所有数都大于 $c+\frac{1}{2}$，应该让区间的起点 $2c$ 严格大于 $c+\frac{1}{2}$，注意此处不要把方向弄反或漏掉边界。

   • 注意逻辑表述中的端点值。当命题错误时，其对应的补集范围要包含等号（例如 $0<c<1$ 的否定在 $c>0$ 前提下是 $c\ge 1$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于典型的集合与简易逻辑综合题，将高一的函数基础性质与绝对值不等式工具相融合，考查考生的逻辑自洽与分类讨论功底。
2. 结论推广: 对于任意两个关于参数 $c$ 的命题 $P(c)$ 与 $Q(c)$，若其对应成立的集合分别为 $A$ 和 $B$。则“$P$ 和 $Q$ 有且仅有一个正确”对应的最终解集可用集合语言表示为对称差：$(A\cap {\complement }_{U}B)\cup ({\complement }_{U}A\cap B)$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2005-辽宁卷-10 单-函数的单调性
• 2006-重庆文-21 解-奇函数定参与恒成立
• 2007-福建卷理-07 单-分式不等式