2006-重庆文-11 单-椭圆焦半径等差充要

本题导读

本题考查椭圆，以及焦半径。

📌【题干】

Question

（2006年重庆卷(文)） 设 $A(x_1,y_1)$，$B\left(4,\frac{9}{5}\right)$，$C(x_2,y_2)$ 是右焦点为 $F$ 的椭圆 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ 上三个不同的点，则”$|AF|$，$|BF|$，$|CF|$ 成等差数列”是"$x_1+x_2=8$"的()

A. 充要条件　　　　　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充分而不必要条件　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. $a^2=25,b^2=9$，$c=4$，$e=\frac{4}{5}$，右焦点 $F(4,0)$。
2. 椭圆右焦半径 $|AF|=a-e{x}_1=5-\frac{4}{5}{x}_1$，$|CF|=5-\frac{4}{5}{x}_2$；$|BF|=5-\frac{4}{5}\times 4=\frac{9}{5}$。
3. 成等差（$A,B,C$ 顺序无关，等差只要求 $|AF|+|CF|=2|BF|$）： $5-\frac{4}{5}{x}_1+5-\frac{4}{5}{x}_2=2\times \frac{9}{5}⟺x_1+x_2=8$。
4. 等价，故为充要条件。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

椭圆 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ 中 $a=5$，$c=4$，$e=\frac{4}{5}$，右焦点 $F(4,0)$． 椭圆上任一点 $(x,y)$ 到右焦点的距离（焦半径）为 $r=a-ex=5-\frac{4}{5}x$，故 $|AF|=5-\frac{4}{5}{x}_1,|BF|=5-\frac{4}{5}\times 4=\frac{9}{5},|CF|=5-\frac{4}{5}{x}_2.$ ”$|AF|,|BF|,|CF|$ 成等差数列”等价于 $|AF|+|CF|=2|BF|$，即 $\left(5-\frac{4}{5}{x}_1\right)+\left(5-\frac{4}{5}{x}_2\right)=\frac{18}{5}⟺x_1+x_2=8.$ 两者等价，故为充要条件，选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆焦半径等差充要

核心方法：椭圆 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$，$e=\frac{4}{5}$，焦半径 $|AF|=5-\frac{4}{5}{x}_1$，$|CF|=5-\frac{4}{5}{x}_2$，$|BF|=5-\frac{4}{5}\cdot 4=\frac{9}{5}$；等差 $|AF|+|CF|=2|BF|$ ⟺ $x_1+x_2=8$

避坑指南：椭圆右焦点焦半径 $r=a-ex$；等差条件化 $x_1+x_2$ 是充要，注意 $e=\frac{4}{5},a=5$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 椭圆焦半径与等差数列充要条件

结论推广: 焦半径 $r=a-ex$，等差条件化横坐标和

方法推广: 椭圆焦半径公式是连接几何与代数条件的桥梁

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2010-广东卷文-07 单-椭圆离心率等差
• 2010-新课标Ⅰ文-20 解-椭圆焦点弦
• 2008-北京文-07 单-等差数列偶数项子列
• 2008-天津文-04 单-等差数列基本量