2004-湖南理-16 填-椭圆的几何性质与焦半径公式

本题导读

本题考查等差数列的性质。

📌【题干】

Question

（2004年湖南卷(理)） 设 $F$ 是椭圆 $\frac{x^2}{7}+\frac{y^2}{6}=1$ 的右焦点，且椭圆上至少有 21 个不同的点 $P_i(i=1,2,3,\dots )$，使 $|F{P}_1|,|F{P}_2|,|F{P}_3|,\dots$ 组成公差为 $d$ 的等差数列，则 $d$ 的取值范围为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求焦半径范围：由 $\frac{x^2}{7}+\frac{y^2}{6}=1$ 得 $a=\sqrt{7}$，$c=1$。右焦半径 $|FP|=a-ex=\sqrt{7}-\frac{1}{\sqrt{7}}x$，$x\in [-\sqrt{7},\sqrt{7}]$，故： $|FP{|}_{\text{min}}=a-c=\sqrt{7}-1,|F{P}_{\text{max}}|=a+c=\sqrt{7}+1$
2. 对称性与点数关系：焦半径在开区间 $(\sqrt{7}-1,\sqrt{7}+1)$ 内时，每个长度对应椭圆上关于 $x$ 轴对称的 2 个点；达到端点（顶点）时只对应 1 个点。故 $d\ne 0$，不妨设 $d>0$。
3. 由点数求项数下限：中间每项最多提供 2 个点、两个端点各 1 个。设共有 $m$ 项，最多提供 $1+2(m-2)+1=2m-2$ 个点，令 $2m-2\ge 21$ 得 $m\ge 12$。
4. 由有界性求公差范围：第 1 到第 12 项的跨度为 $11d$，不超过焦半径最大跨度 $2c=2$，即 $11d\le 2$。

✅【答案】

Success

$\left(0,\frac{2}{11}\right]$

✍【详细解析】

Abstract

• 求焦半径的范围 椭圆为 $\frac{x^2}{7}+\frac{y^2}{6}=1$： $a^2=7⟹a=\sqrt{7}$ $b^2=6$ 半焦距： $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{7-6}=1\text{（式1）}$

  设 $P(x,y)$ 为椭圆上任意一点，$x\in [-\sqrt{7},\sqrt{7}]$。右焦半径公式： $|FP|=a-ex=a-\frac{c}{a}x=\sqrt{7}-\frac{1}{\sqrt{7}}x\text{（式2）}$ 由（式2），$|FP|$ 随 $x$ 减小而增大，其边界为： $|FP{|}_{\text{min}}=a-c=\sqrt{7}-1(\text{当 }x=\sqrt{7}\text{，即右顶点})\text{（式3）}$ $|FP{|}_{\text{max}}=a+c=\sqrt{7}+1(\text{当 }x=-\sqrt{7}\text{，即左顶点})\text{（式4）}$ 焦半径的最大跨度为： $\Delta r=|FP{|}_{\text{max}}-|FP{|}_{\text{min}}=(\sqrt{7}+1)-(\sqrt{7}-1)=2\text{（式5）}$

• 焦半径长度与对应点数的关系 设等差数列各项对应焦半径为 $\{r_k\}$，公差为 $d$。 若 $d=0$，所有半径相等：若 $r_k\in (a-c,a+c)$，由椭圆关于 $x$ 轴的对称性最多只有 2 个点；若 $r_k=a\pm c$ 只有 1 个点，均达不到 21 个点，故 $d\ne 0$。 不妨设 $d>0$，则 $\{r_k\}$ 单调递增。

  1. 当 $r_k$ 在开区间 $(\sqrt{7}-1,\sqrt{7}+1)$ 内时，由 $\sqrt{7}-\frac{1}{\sqrt{7}}x=r_k$ 解出唯一 $x_k\in (-\sqrt{7},\sqrt{7})$，又 $y=\pm \sqrt{6\left(1-\frac{x^2}{7}\right)}$，故对应 $x$ 轴上下 2 个点。
  2. 当 $r_k$ 等于端点值 $\sqrt{7}-1$ 或 $\sqrt{7}+1$ 时，$x=\pm \sqrt{7}$，$y=0$，只对应 1 个点。

• 由项数建立不等式 设等差数列共 $m$ 项。为使点数最多，令首项 $r_1$ 在最小半径处（右顶点，1 点）、末项 $r_m$ 在最大半径处（左顶点，1 点）、中间 $m-2$ 项在开区间内（每项 2 点），则最多提供点数为： $N_{\text{max}}=1+2(m-2)+1=2m-2\text{（式6）}$

  题目要求至少有 21 个不同点： $2m-2\ge 21⟹2m\ge 23⟹m\ge 11.5$ 因 $m$ 为正整数： $m_{\text{min}}=12\text{（式7）}$

• 求公差 $d$ 的范围 由（式7），数列中至少有 12 项，第 1 到第 12 项的跨度为： $\Delta R=r_{12}-r_1=(12-1)d=11d\text{（式8）}$ 该跨度不超过焦半径最大跨度（式5）： $11d\le \Delta r⟹11d\le 2⟹d\le \frac{2}{11}$ 又公差 $d>0$。

综上，公差 $d$ 的取值范围为 $\left(0,\frac{2}{11}\right]$。

填空题最终答案为： $\left(0,\frac{2}{11}\right]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆焦半径公式 $|FP|=a\pm ex$ 及其范围；对称性导致的”半径—点数”对应关系；等差数列项数与跨度的关系。
2. 核心方法：焦半径有界性法、临界项数分析法。
3. 避坑指南：
   • 漏掉顶点”仅对应一个点”的情形，错把项数算成 11：若直接用 $21÷2=10.5⟹11$ 项，会得 $10d\le 2⟹d\le \frac{1}{5}$，结果错误。两个长轴端点各只对应 1 个点，中间项才对应 2 个点，应列 $1+2(m-2)+1\ge 21$，得至少 12 项、分母为 11。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题考查焦半径综合性质与等差数列的交汇，属压轴填空题。
2. 结论推广: 设椭圆长半轴为 $a$、半焦距为 $c$，若要求椭圆上至少存在 $K$ 个不同的点，使这些点到焦点的距离构成公差为 $d$ 的等差数列，则项数下界满足 $2m-2\ge K⟹m\ge \frac{K+2}{2}$（向上取整），公差范围为 $d\in \left(0,\frac{2c}{m-1}\right]$。本题 $2c=2,K=21⟹m=12$，故 $d\in \left(0,\frac{2}{11}\right]$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2006-重庆文-11 单-椭圆焦半径等差充要
• 1987-上海-27 解-椭圆的焦半径与距离
• 1988-广东理-04 单-等差数列的性质