2006-重庆文-03 单-圆与直线相切

本题导读

本题考查圆，以及直线与圆。

📌【题干】

Question

（2006年重庆卷(文)） 以点 $(2,-1)$ 为圆心且与直线 $3x-4y+5=0$ 相切的圆的方程为()

A. $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=3$　　　　　　　　　　　　B. $(x+2{)}^2+(y-1{)}^2=3$

C. $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=9$　　　　　　　　　　　　D. $(x+2{)}^2+(y-1{)}^2=9$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 圆与直线相切 ⟺ 圆心到直线的距离等于半径。
2. $r=\frac{|3\times 2-4\times (-1)+5|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{15}{5}=3$。
3. 圆心 $(2,-1)$，圆方程 $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=9$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

相切时半径等于圆心到直线的距离： $r=\frac{|3\times 2-4\times (-1)+5|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{15}{5}=3.$ 故圆方程为 $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=9$，选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆与直线相切

核心方法：圆心 $(2,-1)$ 到直线 $3x-4y+5=0$ 的距离 $r=\frac{|6+4+5|}{5}=3$，圆 $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=9$

避坑指南：相切 ⟺ 圆心到直线距离等于半径；$|3\cdot 2-4\cdot (-1)+5|=15$，$r=3$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 直线与圆相切，点到直线距离

结论推广: $r=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

方法推广: 相切用圆心到直线距离等于半径，勿硬解判别式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2008-山东文-11 单-圆与两线相切定方程
• 2008-湖南文-14 填-圆平移与切线斜率
• 2010-天津文-14 填-圆的方程相切
• 2010-广东卷文-06 单-直线与圆相切