2006-辽宁文-19 解-折叠问题线面平行二面角

本题导读

本题考查线面平行。核心在于坐标法证线面平行。

📌【题干】

Question

（2006年辽宁卷(文)） 已知正方形 $ABCD$，$E$、$F$ 分别是边 $AB$、$CD$ 的中点，将 $△ADE$ 沿 $DE$ 折起，如图所示，记二面角 $A-DE-C$ 的大小为 $\theta$（$0<\theta <\pi$）． （1）证明：$BF\parallel$ 平面 $ADE$； （2）若 $△ACD$ 为正三角形，试判断点 $A$ 在平面 $BCDE$ 内的射影 $G$ 是否在直线 $EF$ 上，证明你的结论，并求角 $\theta$ 的余弦值．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设正方形边长为 $a$，在平面 $BCDE$ 内建系，$E,F$ 分别是 $AB,CD$ 中点。
2. （1）$E=\left(\frac{a}{2},a,0\right)$，$F=\left(\frac{a}{2},0,0\right)$，$B=(a,a,0)$，$D=(0,0,0)$，得 $\overrightarrow{BF}=\left(-\frac{a}{2},-a,0\right)=-\overrightarrow{DE}$，故 $BF\parallel DE$。
3. 又 $DE\subset$ 平面 $ADE$ 且 $BF\not\subset$ 平面 $ADE$，故 $BF\parallel$ 平面 $ADE$。
4. （2）设折起后 $A=(u,v,w)$，由 $△ACD$ 正三角形及折叠前后长度不变列方程组，解得 $u=\frac{a}{2}$，$v=\frac{3a}{4}$，$w^2=\frac{3a^2}{16}$，故射影 $G=\left(\frac{a}{2},\frac{3a}{4},0\right)$ 在直线 $EF$（$x=\frac{a}{2}$）上。
5. 取 $\mathbf{u}=\overrightarrow{DE}$，$\mathbf{v}=\overrightarrow{DA}$，$\mathbf{w}=\overrightarrow{DC}$，作垂直于 $DE$ 的正射影，用 $\cos \theta =\frac{{\mathbf{v}}_{\perp }\cdot {\mathbf{w}}_{\perp }}{|{\mathbf{v}}_{\perp }||{\mathbf{w}}_{\perp }|}$ 求得 $\cos \theta =\frac{1}{4}$。

✅【答案】

Success

(1)证明见解析

(2)点 $G$ 在直线 $EF$ 上，$\cos \theta =\frac{1}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）设正方形边长为 $a$，在平面 $BCDE$ 内建立坐标系，使 $D=(0,0,0)$，$C=(a,0,0)$，$B=(a,a,0)$，$E=\left(\frac{a}{2},a,0\right)$，$F=\left(\frac{a}{2},0,0\right)$． 于是 $\overrightarrow{BF}=\left(-\frac{a}{2},-a,0\right)=-\overrightarrow{DE}$，故直线 $BF$ 与直线 $DE$ 平行． 又平面 $ADE$ 与平面 $BCDE$ 的交线为 $DE$，且 $BF\subset$ 平面 $BCDE$、$BF$ 与 $DE$ 不重合，故 $BF\not\subset$ 平面 $ADE$，从而 $BF\parallel$ 平面 $ADE$． （2）设折起后 $A=(u,v,w)$．因为 $△ACD$ 为正三角形，且 $AD=CD=a$，又由折叠前后长度不变知 $AE=\frac{a}{2}$，所以 $\{\begin{array}{l}{u}^2+v^2+w^2=a^2,\\ (u-a{)}^2+v^2+w^2=a^2,\\ (u-\frac{a}{2}{)}^2+(v-a{)}^2+w^2=\frac{a^2}{4}.\end{array}$ 前两式相减得 $u=\frac{a}{2}$，代入后两式得 $v=\frac{3a}{4}$，$w^2=\frac{3a^2}{16}$． 因此点 $A$ 在平面 $BCDE$ 上的射影为 $G=\left(\frac{a}{2},\frac{3a}{4},0\right)$． 直线 $EF$ 的方程为 $x=\frac{a}{2}$ 且 $0⩽y⩽a$，故 $G$ 在线段 $EF$ 上． 取 $\mathbf{u}=\overrightarrow{DE}=\left(\frac{a}{2},a,0\right)$，$\mathbf{v}=\overrightarrow{DA}=\left(\frac{a}{2},\frac{3a}{4},w\right)$，$\mathbf{w}=\overrightarrow{DC}=(a,0,0)$． 将 $\mathbf{v},\mathbf{w}$ 分别在垂直于 $DE$ 的方向上作正射影： ${\mathbf{v}}_{\perp }=\mathbf{v}-\frac{\mathbf{v}\cdot \mathbf{u}}{|\mathbf{u}{|}^2}\mathbf{u}=\left(\frac{a}{10},-\frac{a}{20},w\right)$， ${\mathbf{w}}_{\perp }=\mathbf{w}-\frac{\mathbf{w}\cdot \mathbf{u}}{|\mathbf{u}{|}^2}\mathbf{u}=\left(\frac{4a}{5},-\frac{2a}{5},0\right)$． 由 $w^2=\frac{3a^2}{16}$，得 ${\mathbf{v}}_{\perp }\cdot {\mathbf{w}}_{\perp }=\frac{a^2}{10}$，$|{\mathbf{v}}_{\perp }{|}^2=\frac{a^2}{5}$，$|{\mathbf{w}}_{\perp }{|}^2=\frac{4a^2}{5}$． 故二面角 $A-DE-C$ 的平面角 $\theta$ 满足 $\cos \theta =\frac{{\mathbf{v}}_{\perp }\cdot {\mathbf{w}}_{\perp }}{|{\mathbf{v}}_{\perp }||{\mathbf{w}}_{\perp }|}=\frac{1}{4}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：折叠问题线面平行二面角

核心方法：坐标法证线面平行，向量正射影求二面角

避坑指南：建系得 $\overrightarrow{BF}=-\overrightarrow{DE}$ 证 $BF\parallel DE$；折起后由 $△ACD$ 正三角形列方程组定 $A$ 坐标，射影 $G$ 在 $x=\frac{a}{2}$ 上；二面角用正射影 $\cos \theta =\frac{{\mathbf{v}}_{\perp }\cdot {\mathbf{w}}_{\perp }}{|{\mathbf{v}}_{\perp }||{\mathbf{w}}_{\perp }|}=\frac{1}{4}$；折叠前后长度不变是列方程的根据

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 折叠问题中线面关系与二面角，立体几何综合题

结论推广: 折叠前后长度、角度不变，是列方程的根据；建系用向量正射影求二面角

方法推广: 折叠问题的关键是抓住折叠轴上的不变量，用向量法统一定空间角

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅱ文-20 解-正四棱柱垂直二面角
• 2008-浙江文-20 解-线面平行二面角