2006-辽宁文-16 填-排列组合特殊位置限制

本题导读

本题考查排列与排列数，以及分类加法计数原理。

📌【题干】

Question

（2006年辽宁卷(文)） $5$ 名乒乓球队员中，有 $2$ 名老队员和 $3$ 名新队员．现从中选出 $3$ 名队员排成 $1,2,3$ 号参加团体比赛，则入选的 $3$ 名队员中至少有 $1$ 名老队员，且 $1,2$ 号中至少有 $1$ 名新队员的排列方法有____种．（以数作答）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 满足”至少 1 老”且”1、2 号至少 1 新”，分两类：恰 1 老 2 新，或恰 2 老 1 新。
2. 恰 1 老 2 新：选 1 老 $C_2^1$、2 新 $C_3^2$，3 人全排 $A_3^3$；此时只有 1 名老队员，1、2 号不可能都为老，自动满足条件，共 $C_2^1{C}_3^2{A}_3^3=2\times 3\times 6=36$。
3. 恰 2 老 1 新：选 2 老 $C_2^2$、1 新 $C_3^1$，共 $3$ 组人选；每组全排 $A_3^3=6$，其中”1、2 号都为老”的排列有 $2$ 种（两老在 1、2 号互换，新在 3 号），故每组有效 $6-2=4$ 种，共 $3\times 4=12$。
4. 合计 $36+12=48$。

✅【答案】

Success

$48$

✍【详细解析】

Abstract

按老队员的个数分类： （1）恰有 1 名老队员、2 名新队员：选 1 老 $C_2^1=2$ 种，选 2 新 $C_3^2=3$ 种，3 人全排列 $A_3^3=6$ 种．此时只有 1 名老队员，$1$、$2$ 号不可能都为老队员，条件自动满足，共有 $2\times 3\times 6=36$ 种． （2）恰有 2 名老队员、1 名新队员：选 2 老 $C_2^2=1$ 种，选 1 新 $C_3^1=3$ 种，共 $3$ 组人选；每组全排列 $A_3^3=6$ 种，其中”$1$、$2$ 号都是老队员”的排列有 $2$ 种（两名老队员占 $1$、$2$ 号可互换），故每组有效排列 $6-2=4$ 种，共 $3\times 4=12$ 种． 综上，排列方法共有 $36+12=48$ 种． 故答案为 $48$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：排列组合特殊位置限制

核心方法：先分类再分步，特殊位置优先安排

避坑指南：分”1老2新”（$C_2^1{C}_3^2{A}_3^3=36$）与”2老1新”（$3\times (A_3^3-2)=12$）两类，共 $48$；恰 2 老时要排除”1、2 号都为老”的 $2$ 种，别漏排除

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 排列组合特殊位置限制，计数综合题

结论推广: 含”至少”限制用分类；“1、2 号至少 1 新”在恰 2 老时需排除全老排列

方法推广: 有限制条件的排列优先安排受限位置，再分类计数

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2008-浙江文-17 填-奇偶相邻排列
• 2009-重庆卷文-13 填-不相邻排列