2006-福建文-04 单-同角三角函数求值

本题导读

本题考查同角三角函数关系，以及和角公式。

📌【题干】

Question

（2006年福建卷(文)） 已知 $\alpha \in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$，$\sin \alpha =\frac{3}{5}$，则 $\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)$ 等于 ()

A. $\frac{1}{7}$　　　　　　　B. $7$　　　　　　　C. $-\frac{1}{7}$　　　　　　　D. $-7$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\alpha$ 在第二象限：$\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\frac{4}{5}$，$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=-\frac{3}{4}$。
2. 和角公式：$\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\tan \alpha +\tan \frac{\pi }{4}}{1-\tan \alpha \tan \frac{\pi }{4}}=\frac{\tan \alpha +1}{1-\tan \alpha }$。
3. 代入 $\frac{-\frac{3}{4}+1}{1+\frac{3}{4}}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{7}{4}}=\frac{1}{7}$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

由 $\alpha \in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ 知 $\cos \alpha <0$，故 $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\frac{4}{5}$。 $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{3}{5}÷\left(-\frac{4}{5}\right)=-\frac{3}{4}$。 $\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\tan \alpha +1}{1-\tan \alpha }=\frac{-\frac{3}{4}+1}{1-\left(-\frac{3}{4}\right)}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{7}{4}}=\frac{1}{7}$，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：同角三角函数求值

核心方法：同角求全再套和角公式

避坑指南：$\alpha$ 钝角：$\cos \alpha =-\frac{4}{5}$，$\tan \alpha =-\frac{3}{4}$；$\tan (\alpha +\frac{\pi }{4})=\frac{\tan \alpha +1}{1-\tan \alpha }=\frac{1}{7}$；符号由区间定，别漏负号

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自同角关系与和角公式，三角求值标准题

结论推广: $\tan (\alpha +\frac{\pi }{4})$ 型求值推广到任意特殊角组合

方法推广: 区间定符号，钝角余弦为负

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2009-大纲Ⅱ文-04 单-同角三角函数
• 2012-辽宁卷文-06 单-同角三角函数求值