2006-湖北文-19 解-三次函数极值与单调

本题导读

本题考查三次函数的极值与单调性。核心在于导数定极值与单调区间。

📌【题干】

Question

（2006年湖北卷(文)） 设函数 $f(x)=x^3-a{x}^2+bx+c$ 在 $x=1$ 处取得极值 $-2$，试用 $c$ 表示 $a$ 和 $b$，并求 $f(x)$ 的单调区间。

🔍【思路分析】

破题导航

1. $f^{\prime }(x)=3x^2-2ax+b$。
2. 由 $x=1$ 处取极值 $-2$：$f(1)=1-a+b+c=-2$，$f^{\prime }(1)=3-2a+b=0$。
3. 由 $f^{\prime }(1)=0$ 得 $b=2a-3$，代入 $f(1)$：$1-a+2a-3+c=-2\Rightarrow a+c=0\Rightarrow a=-c$，故 $b=-2c-3$。
4. $f^{\prime }(x)=3x^2+2cx-2c-3=(x-1)(3x+2c+3)$，另一根 $x=-\frac{2c+3}{3}$。
5. 因 $x=1$ 是极值点，须 $-\frac{2c+3}{3}\ne 1$，即 $c\ne -3$。分 $c<-3$ 与 $c>-3$ 讨论 $f^{\prime }(x)$ 符号。

✅【答案】

Success

$a=-c$，$b=-2c-3$（$c\ne -3$）；当 $c<-3$ 时增区间 $\left(-\infty ,1\right]$、$\left[-\frac{2c+3}{3},+\infty \right)$，减区间 $\left[1,-\frac{2c+3}{3}\right]$；当 $c>-3$ 时增区间 $\left(-\infty ,-\frac{2c+3}{3}\right]$、$\left[1,+\infty \right)$，减区间 $\left[-\frac{2c+3}{3},1\right]$

✍【详细解析】

Abstract

$f^{\prime }(x)=3x^2-2ax+b$． 由 $x=1$ 处取得极值 $-2$ 得 $f(1)=1-a+b+c=-2,f^{\prime }(1)=3-2a+b=0.$ 由 $f^{\prime }(1)=0$ 得 $b=2a-3$，代入 $f(1)$： $1-a+(2a-3)+c=-2\Rightarrow a+c=0\Rightarrow a=-c,b=-2c-3.$ 于是 $f^{\prime }(x)=3x^2+2cx-2c-3=(x-1)(3x+2c+3).$ 令 $f^{\prime }(x)=0$ 得 $x=1$ 或 $x=-\frac{2c+3}{3}$．因 $x=1$ 是极值点，须 $-\frac{2c+3}{3}\ne 1$，即 $c\ne -3$．

① 当 $c<-3$ 时，$-\frac{2c+3}{3}>1$，$f^{\prime }(x)$ 在 $(-\infty ,1)$、$\left(-\frac{2c+3}{3},+\infty \right)$ 为正，在 $\left(1,-\frac{2c+3}{3}\right)$ 为负，故 增区间 $\left(-\infty ,1\right]$、$\left[-\frac{2c+3}{3},+\infty \right)$，减区间 $\left[1,-\frac{2c+3}{3}\right]$；

② 当 $c>-3$ 时，$-\frac{2c+3}{3}<1$，$f^{\prime }(x)$ 在 $\left(-\infty ,-\frac{2c+3}{3}\right)$、$(1,+\infty )$ 为正，在 $\left(-\frac{2c+3}{3},1\right)$ 为负，故 增区间 $\left(-\infty ,-\frac{2c+3}{3}\right]$、$\left[1,+\infty \right)$，减区间 $\left[-\frac{2c+3}{3},1\right]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三次函数极值与单调

核心方法：$f^{\prime }(x)=3x^2-2ax+b$，由 $f(1)=-2,f^{\prime }(1)=0$ 得 $a=-c,b=-2c-3$

避坑指南：$f^{\prime }(x)=(x-1)(3x+2c+3)$，另一极值点 $x=-\frac{2c+3}{3}$；$c\ne -3$，分 $c<-3$、$c>-3$ 讨论单调

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 三次函数极值与单调，导数综合

结论推广: $f^{\prime }(x)$ 两根为极值点，分参讨论单调区间

方法推广: 三次函数单调由导函数两根决定，注意 $c\ne -3$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.04 三次函数性质全总结
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2008-北京文-17 解-奇函数定参与三次函数单调
• 2008-浙江文-21 解-三次函数切线最值
• 2009-安徽卷文-08 单-三次函数图象
• 2013-新课标Ⅱ文-11 单-三次函数性质