2006-湖北文-17 解-分层抽样比例人数

本题导读

本题考查分层抽样。核心在于分层抽样按比例分配。

📌【题干】

Question

（2006年湖北卷(文)） 某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加了其中一组．在参加活动的职工中，青年占 $42.5\%$，中年占 $47.5\%$，老年占 $10\%$．登山组的职工占参加活动总人数的 $\frac{1}{4}$，且该组中，青年占 $50\%$，中年占 $40\%$，老年占 $10\%$．为了了解各组不同年龄层次职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为 $200$ 的样本．试确定： （1）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例； （2）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设全体职工人数为 $1$，登山组占 $\frac{1}{4}$，游泳组占 $\frac{3}{4}$。
2. 游泳组青年占比 $=\frac{\text{全体青年}-\text{登山组青年}}{\text{游泳组人数}}=\frac{42.5\%-\frac{1}{4}\times 50\%}{\frac{3}{4}}=\frac{42.5\%-12.5\%}{75\%}=\frac{30\%}{75\%}=40\%$。
3. 同理中年：$\frac{47.5\%-\frac{1}{4}\times 40\%}{\frac{3}{4}}=\frac{47.5\%-10\%}{75\%}=\frac{37.5\%}{75\%}=50\%$；老年：$\frac{10\%-\frac{1}{4}\times 10\%}{\frac{3}{4}}=\frac{10\%-2.5\%}{75\%}=10\%$。
4. 人数 = 样本容量 200 × 比例。

✅【答案】

Success

(1)游泳组中青年、中年、老年分别占 $40\%$、$50\%$、$10\%$

(2)分别应抽取 $60$ 人、$75$ 人、$15$ 人

✍【详细解析】

Abstract

（1）设参加活动的总人数为 $1$，则登山组占 $\frac{1}{4}$，游泳组占 $\frac{3}{4}$． 游泳组中青年占的比例 $\frac{42.5\%-\frac{1}{4}\times 50\%}{\frac{3}{4}}=\frac{42.5\%-12.5\%}{75\%}=\frac{30\%}{75\%}=40\%;$ 游泳组中中年占的比例 $\frac{47.5\%-\frac{1}{4}\times 40\%}{\frac{3}{4}}=\frac{47.5\%-10\%}{75\%}=\frac{37.5\%}{75\%}=50\%;$ 游泳组中老年占的比例 $\frac{10\%-\frac{1}{4}\times 10\%}{\frac{3}{4}}=\frac{10\%-2.5\%}{75\%}=10\%.$ （2）分层抽样按比例分配，容量 $200$： 游泳组中青年应抽取 $200\times 40\%=60$ 人； 中年应抽取 $200\times 50\%=75$ 人； 老年应抽取 $200\times 10\%=15$ 人。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分层抽样比例人数

核心方法：按总人数归一：游泳组占 $3/4$，各年龄比例 =（总体比例 − 登山组 $1/4$×对应比例）$÷(3/4)$

避坑指南：登山组青/中/老占 $50\%/40\%/10\%$；游泳组青 $40\%$、中 $50\%$、老 $10\%$，人数 $60/75/15$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 分层抽样比例人数，抽样方法

结论推广: 总体比例 = 组权重 × 组内比例加权

方法推广: 分层抽样按层权重分配样本容量

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 14.01 随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2015-四川卷文-03 单-分层抽样
• 2011-福建卷文-04 单-分层抽样
• 2014-湖北卷文-11 填-分层抽样
• 2010-安徽卷文-14 填-分层抽样加权估计