2006-湖北文-12 填-二项分布至少概率

本题导读

本题考查二项分布，以及独立重复试验。

📌【题干】

Question

（2006年湖北卷(文)） 接种某疫苗后，出现发热反应的概率为 $0.80$，现有 $5$ 人接种该疫苗，至少有 $3$ 人出现发热反应的概率为　　　　。（精确到 $0.01$）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 记 $X$ 为出现发热反应的人数，则 $X\sim B(5,0.8)$。
2. $P(X⩾3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)$。
3. $=C_5^3(0.8{)}^3(0.2{)}^2+C_5^4(0.8{)}^4(0.2)+(0.8{)}^5$。
4. 计算得 $0.2048\times 4+0.4096\times 0.2+0.32768\approx 0.9421\approx 0.94$。

✅【答案】

Success

$0.94$

✍【详细解析】

Abstract

设 $X$ 为 5 人中出现发热反应的人数，则 $X\sim B(5,0.8)$． $P(X⩾3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)$ $=C_5^3(0.8{)}^3(0.2{)}^2+C_5^4(0.8{)}^4(0.2)+C_5^5(0.8{)}^5$ $=10\times 0.512\times 0.04+5\times 0.4096\times 0.2+0.32768$ $=0.2048+0.4096+0.32768=0.9421\approx \mathrm{0.94.}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项分布至少概率

核心方法：$X\sim B(5,0.8)$，$P(X⩾3)=C_5^{3}0.8^{3}0.2^2+C_5^{4}0.8^{4}0.2+0.8^5$

避坑指南：“至少 3 人”是 $⩾3$ 三项求和，精确到 $0.01$ 得 $0.94$（勿写成 $0.94$ 后仍保留多位）

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 二项分布至少概率，概率统计

结论推广: $P(X⩾3)=1-P(X⩽2)$ 或正向三项求和

方法推广: 二项分布”至少”可正向求和或用对立事件

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.04 二项分布与超几何分布

类题演练 (Links)

• 2008-四川文-18 解-独立事件与二项分布
• 2008-重庆文-18 解-独立重复试验概率
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• 2014-湖北卷理-20 解-二项分布