2006-湖北文-08 单-二项式展开整数项

本题导读

本题考查二项式定理，以及展开式。

📌【题干】

Question

（2006年湖北卷(文)） 在 ${\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)}^{24}$ 的展开式中，$x$ 的幂的指数是整数的项共有()

A. 3 项　　　　　B. 4 项　　　　　C. 5 项　　　　　D. 9 项

🔍【思路分析】

破题导航

1. 通项 $T_{k+1}=C_{24}^k(\sqrt{x}{)}^{24-k}{\left(-\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)}^k=C_{24}^k(-1{)}^k{x}^{\frac{24-k}{2}-\frac{k}{3}}$。
2. 指数 $\frac{24-k}{2}-\frac{k}{3}=\frac{72-5k}{6}$。
3. 指数为整数 $\iff 72-5k$ 能被 $6$ 整除 $\iff 6\mid k$（因 $72\equiv 0,5k\equiv k(\mathrm{mod}6)$）。
4. $k\in \{0,1,\dots ,24\}$ 中 $k=0,6,12,18,24$，共 5 项。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

通项为 $T_{k+1}=C_{24}^k(\sqrt{x}{)}^{24-k}{\left(-\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)}^k=C_{24}^k(-1{)}^k{x}^{\frac{24-k}{2}-\frac{k}{3}}$． $x$ 的指数 $\frac{24-k}{2}-\frac{k}{3}=\frac{72-5k}{6}$． 要其为整数，需 $72-5k\equiv 0(\mathrm{mod}6)$，即 $-5k\equiv k\equiv 0(\mathrm{mod}6)$，故 $k=0,6,12,18,24$，共 $5$ 项，选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式展开整数项

核心方法：通项 $T_{k+1}=C_{24}^k{x}^{(24-k)/2-k/3}$，指数为整数即 $\frac{24-k}{2}-\frac{k}{3}\in \mathbb{Z}$

避坑指南：指数 $=\frac{72-5k}{6}$，$k=0,6,12,18,24$ 共 5 项；分母是 $\sqrt[3]{x}$ 即 $x^{-1/3}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 二项式展开整数项，二项式定理

结论推广: 指数 $\frac{72-5k}{6}$ 为整数 ⟺ $6\mid k$

方法推广: 分数指数通分后看分子能否被分母整除

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2008-北京文-12 填-二项式常数项与系数和
• 2012-上海卷文-08 填-二项展开式常数项
• 2009-大纲Ⅱ文-14 填-二项展开式系数
• 2012-大纲卷文-13 填-二项式特定项