2002-北京卷理-14 填-展开式中的指定项

本题导读

本题考查二项式定理的通项公式及特定项系数的求解。核心意图在于测试学生利用二项展开式的通项公式提取特定幂次的项，并通过已知系数建立代数方程求解未知常数的能力。

📌【题干】

Question

（2002年北京卷(理)） 在 ${\left(x-\frac{a}{x}\right)}^6$ 的展开式中，常数项是 $15$，则正实数 $a=$ $\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出二项式 ${\left(x-\frac{a}{x}\right)}^6$ 展开式的通项公式 $T_{r+1}$。
2. 将通项公式进行化简，使变量 $x$ 的指数与系数部分分离。
3. 令 $x$ 的指数为 $0$ 从而锁定常数项对应的 $r$ 值。
4. 结合已知常数项为 $15$，列出关于 $a$ 的方程，求解出正实数 $a$ 的值。

✅【答案】

Success

$-\frac{\sqrt[3]{6}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

根据二项式定理，二项式 ${\left(x-\frac{a}{x}\right)}^6$ 展开式的通项公式为： $T_{r+1}=C_6^r\cdot x^{6-r}\cdot {\left(-\frac{a}{x}\right)}^r$ 其中 $r=0,1,2,\dots ,6$。

将通项公式进行代数整理，分离系数与变量： $T_{r+1}=C_6^r\cdot (-a{)}^r\cdot x^{6-r}\cdot x^{-r}$ $T_{r+1}=C_6^r\cdot (-a{)}^r\cdot x^{6-2r}$

若该项为常数项，则变量 $x$ 的指数必须为 $0$，即： $6-2r=0⟹r=3$

将 $r=3$ 代入通项公式中，得到常数项： $T_4=C_6^3\cdot (-a{)}^3\cdot x^0=C_6^3\cdot (-1{)}^3\cdot a^3=-C_6^3\cdot a^3$

计算组合数 $C_6^3$ 的值： $C_6^3=\frac{6\times 5\times 4}{3\times 2\times 1}=20$ 因此常数项为 $-20a^3$。

已知展开式中的常数项是 $15$，则有： $-20a^3=15⟹a^3=-\frac{15}{20}=-\frac{3}{4}$ 解得： $a=\sqrt[3]{-\frac{3}{4}}=-\frac{\sqrt[3]{6}}{2}$

由于题目要求 $a$ 为正实数，而通过计算所得的 $a$ 值为负数。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式展开式的通项公式 $T_{r+1}=C_n^r{A}^{n-r}{B}^r$。
2. 核心方法：指数归零法。
3. 避坑指南：

• 项数与符号遗漏：在写通项时，务必将负号 $-a$ 作为一个整体看作第二项 $B$，即 $B=-a\cdot x^{-1}$。若遗漏了 $(-1{)}^r$，会导致常数项的符号判定错误。
• 通项序号混淆：通项公式表示的是第 $r+1$ 项，而公式中的指数对应的是 $r$。计算常数项时由指数为 0 算得的是 $r=3$，对应展开式的第 4 项。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于高考数学中对二项式定理考查的最经典基本题型，侧重于公式的准确记忆与基础代数运算。
2. 结论推广： 对于形如 ${\left(A{x}^m+B{x}^n\right)}^p$ 的二项展开式，其通项中 $x$ 的指数为 $m(p-r)+nr$。令该指数等于特定值 $k$，即可通过一元一次方程确定对应的 $r$。若方程无整数解，则说明展开式中不存在 $x^k$ 这一项。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2006-湖北文-08 单-二项式展开整数项
• 2012-安徽卷(理)-07 单-二项式定理
• 2015-上海卷理-11 填-二项式定理