2006-浙江文-19 解-椭圆与直线相切

本题导读

本题考查椭圆的标准方程。核心在于联立判别式为零定方程。

📌【题干】

Question

（2006年浙江卷(文)） 如图，椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）与过点 $A(2,0)$，$B(0,1)$ 的直线有且只有一个公共点 $T$，且椭圆的离心率 $e=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

(1) 求椭圆方程；

(2) 设 $F_1$，$F_2$ 分别为椭圆的左、右焦点，求证：$|AT{|}^2=\frac{1}{2}|A{F}_1|\cdot |A{F}_2|$。

🔍【思路分析】

破题导航

(1)

1. $e^2=\frac{c^2}{a^2}=1-\frac{b^2}{a^2}=\frac{3}{4}$，得 $b^2=\frac{a^2}{4}$。
2. 直线 $AB$：$y=1-\frac{x}{2}$，代入椭圆方程得 $2x^2-4x+4-a^2=0$。
3. 唯一公共点即 $\Delta =0$：$16-8(4-a^2)=0$，解 $a^2=2$，$b^2=\frac{1}{2}$。
4. 椭圆方程 $\frac{x^2}{2}+2y^2=1$；重根 $x=1$，$T=\left(1,\frac{1}{2}\right)$。 (2)
5. $c^2=a^2-b^2=\frac{3}{2}$，$F_1=(-c,0)$，$F_2=(c,0)$。
6. $|A{F}_1|=2+c$，$|A{F}_2|=2-c$，乘积 $=4-c^2=\frac{5}{2}$。
7. $|AT{|}^2=(2-1{)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{5}{4}=\frac{1}{2}\times \frac{5}{2}$，得证。

✅【答案】

Success

(1) $\frac{x^2}{2}+2y^2=1$

(2) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由离心率条件 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得 $c^2=a^2-b^2=\frac{3}{4}{a}^2$，所以 $b^2=\frac{1}{4}{a}^2$。 直线 $AB$ 的方程为 $\frac{x}{2}+y=1$，即 $y=1-\frac{x}{2}$。 将其代入椭圆方程，得 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{4(1-\frac{x}{2}{)}^2}{a^2}=1$，即 $2x^2-4x+4-a^2=0$。 直线与椭圆只有一个公共点，所以上述关于 $x$ 的方程有两个相等的实根， 从而 $(-4{)}^2-4\cdot 2(4-a^2)=0$，解得 $a^2=2$，进而 $b^2=\frac{1}{2}$。 所以椭圆方程为 $\frac{x^2}{2}+2y^2=1$。 此时二次方程的重根为 $x=1$，代入直线方程得 $T=\left(1,\frac{1}{2}\right)$。

(2) 椭圆的焦半距满足 $c^2=a^2-b^2=\frac{3}{2}$，故 $F_1=(-c,0)$，$F_2=(c,0)$。 因为 $c<2$，所以 $|A{F}_1|=2+c$，$|A{F}_2|=2-c$， 从而 $|A{F}_1||A{F}_2|=(2+c)(2-c)=4-c^2=\frac{5}{2}$。 另一方面，$|AT{|}^2=(1-2{)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{5}{4}$。 因此 $|AT{|}^2=\frac{1}{2}|A{F}_1||A{F}_2|$，结论得证。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆与直线相切

核心方法：联立判别式为零定方程

避坑指南：离心率 $\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow b^2=\frac{a^2}{4}$；直线 $y=1-\frac{x}{2}$ 代入椭圆得 $2x^2-4x+4-a^2=0$，$\Delta =0$ 解 $a^2=2$，方程 $\frac{x^2}{2}+2y^2=1$；切点横坐标 $x=1$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自直线与椭圆位置关系，判别式定相切的经典题

结论推广: 唯一公共点即二次方程重根，$\Delta =0$ 解出 $a^2$，推广到含参椭圆相切问题

方法推广: 离心率条件先化为 $a,b$ 关系减少未知量

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2008-天津文-07 单-椭圆方程与离心率
• 2012-重庆卷文-21 解-椭圆标准方程与面积