2004-北京春文-14 填-直线与圆椭圆位置

本题导读

本题考查直线与圆、点与椭圆的位置关系。

📌【题干】

Question

若直线 $mx+ny-3=0$ 与圆 $x^2+y^2=3$ 没有公共点，则 $m,n$ 满足的关系式为　　　；以 $(m,n)$ 为点 $P$ 的坐标，过点 $P$ 的一条直线与椭圆 $\frac{x^2}{7}+\frac{y^2}{3}=1$ 的公共点有　　　个。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 直线到圆心距离 $\frac{3}{\sqrt{m^2+n^2}}>\sqrt{3}$，得 $m^2+n^2<3$。
2. 点 $P$ 在椭圆内。
3. 过内点的直线与椭圆交 2 点。

✅【答案】

Success

$m^2+n^2<3$，$2$

✍【详细解析】

Abstract

圆 $x^2+y^2=3$ 的圆心为原点，半径为 $\sqrt{3}$．直线 $mx+ny-3=0$ 到原点的距离为 $\frac{3}{\sqrt{m^2+n^2}}$，故直线与圆无公共点的充要条件是 $\frac{3}{\sqrt{m^2+n^2}}>\sqrt{3}$，即 $m^2+n^2<3$．由此，点 $P(m,n)$ 满足 $\frac{m^2}{7}+\frac{n^2}{3}⩽\frac{m^2+n^2}{3}<1$，故 $P$ 在椭圆 $\frac{x^2}{7}+\frac{y^2}{3}=1$ 的内部．任取过 $P$ 的直线，其参数方程 $(x,y)=(m,n)+t(u,v)$（$(u,v)\ne (0,0)$）代入椭圆方程得关于 $t$ 的二次方程 $A{t}^2+2Bt+C=0$，其中 $A=\frac{u^2}{7}+\frac{v^2}{3}>0$，$C=\frac{m^2}{7}+\frac{n^2}{3}-1<0$，两根之积 $\frac{C}{A}<0$，故方程有两异号实根，即过 $P$ 的直线与椭圆有两个公共点．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线与圆椭圆位置

核心方法：直线到圆心距离 $\frac{3}{\sqrt{m^2+n^2}}>\sqrt{3}\Rightarrow m^2+n^2<3$；点 $P$ 在椭圆内部，任一直线与椭圆交 2 点

避坑指南：无公共点 $⟺$ 距离 $>$ 半径；$P$ 在椭圆内（$\frac{m^2}{7}+\frac{n^2}{3}<1$），过内点直线与椭圆交 2 点

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于直线与圆、椭圆的位置关系，教材”圆锥曲线”

结论推广：一般化：直线与圆无公共点 $⟺$ 距离 $>$ 半径；点在椭圆内则任一直线交 2 点

方法推广：由距离不等式定 $m^2+n^2$ 范围，再用点与椭圆位置关系判断交点个数

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2012-安徽卷文-09 单-直线与圆位置关系定参
• 2006-浙江文-19 解-椭圆与直线相切
• 2013-陕西卷文-08 单-直线与圆位置关系

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