2006-江西卷理-21 解-椭圆中点轨迹与准线最值

本题导读

一道「轨迹＋最值」双主体的解析几何压轴题。第一问用点差法一步写出过焦点弦的中点轨迹，关键是不能漏掉直线垂直于 $x$ 轴的那一种情形；第二问先把椭圆参数化（$a^2$、$b^2$ 由 $\theta$ 给出），求原点距右准线的最远距离，再用过焦点弦与准线轴交点构成的三角形求面积最大值，核心是把「底」固定成 $|DF|$，让变量只剩两交点纵坐标之差。

📌【题干】

Question

（2006年江西卷(理)） 如图，椭圆 $Q$：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的右焦点为 $F(c,0)$，过点 $F$ 的一动直线 $m$ 绕点 $F$ 转动，并且交椭圆于 $A$、$B$ 两点，$P$ 为线段 $AB$ 的中点。

（1）求点 $P$ 的轨迹 $H$ 的方程；

（2）在 $Q$ 的方程中，令 $a^2=1+\cos \theta +\sin \theta$，$b^2=\sin \theta$（$0<\theta ⩽\frac{\pi }{2}$），确定 $\theta$ 的值，使原点距椭圆的右准线 $l$ 最远，此时，设 $l$ 与 $x$ 轴交点为 $D$，当直线 $m$ 绕点 $F$ 转动到什么位置时，三角形 $ABD$ 的面积最大？

🔍【思路分析】

破题导航

第一问：弦中点轨迹的标准打法是点差法——把 $A$、$B$ 的坐标分别代入椭圆方程后作差，立即出现 $b^2(x_1+x_2)(x_1-x_2)+a^2(y_1+y_2)(y_1-y_2)=0$；再用中点坐标 $x_1+x_2=2x$、$y_1+y_2=2y$，以及「$A$、$B$、$F$、$P$ 四点共线」给出的斜率 $k=\frac{y}{x-c}$ 消去 $k$，轨迹方程就直接落出来了。要注意 $x_1=x_2$（即 $m\perp x$ 轴）时斜率不存在，必须单独补验中点 $(c,0)$ 是否满足方程。 第二问：先由 $c^2=a^2-b^2$ 得 $c^2=1+\cos \theta$，右准线是 $x=\frac{a^2}{c}$，所以「原点距右准线」就是 $\frac{a^2}{c}=\frac{1+\cos \theta +\sin \theta }{\sqrt{1+\cos \theta }}$。令 $t=\sqrt{1+\cos \theta }$ 换元，把待求量压成 $d=t+\sqrt{2-t^2}$，平方后配方即可判最值，不必动导数。后半段先在 $\theta =\frac{\pi }{2}$ 下写出椭圆 $\frac{x^2}{2}+y^2=1$、$F(1,0)$、$D(2,0)$，再把 $m$ 设成 $x=ty+1$（一个设法覆盖所有方向），用韦达定理控制 $|y_A-y_B|$；因为 $D$、$F$ 都在 $x$ 轴上，有 $S_{△ABD}=\frac{1}{2}|DF|\cdot |y_A-y_B|$，底为定值，剩下的只是关于 $t^2$ 的单调性。

✅【答案】

Success

（1）轨迹 $H$ 的方程为 $b^2{\left(x-\frac{c}{2}\right)}^2+a^2{y}^2=\frac{b^2{c}^2}{4}$，即 $b^2{x}^2+a^2{y}^2=b^{2}cx$。

（2）当 $\theta =\frac{\pi }{2}$ 时原点距右准线 $l$ 最远（最远距离为 2）；此时当直线 $m\perp x$ 轴（即 $m:x=1$）时，$△ABD$ 的面积最大，最大面积为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$。

✍【详细解析】

Abstract

（1）设 $A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$，$P(x,y)$。 因为 $A$、$B$ 都在椭圆 $Q$ 上，所以 $\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1,\frac{x_2^2}{a^2}+\frac{y_2^2}{b^2}=1$ 两式相减得 $\frac{(x_1+x_2)(x_1-x_2)}{a^2}+\frac{(y_1+y_2)(y_1-y_2)}{b^2}=0$ 即 $b^2(x_1+x_2)(x_1-x_2)+a^2(y_1+y_2)(y_1-y_2)=0$ 由 $P$ 为 $AB$ 的中点，$x_1+x_2=2x$，$y_1+y_2=2y$，代入得 $2b^{2}x(x_1-x_2)+2a^{2}y(y_1-y_2)=0$ ① 若 $x_1\ne x_2$，即 $m$ 不垂直于 $x$ 轴，则 $AB$ 的斜率 $k=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$ 存在。又 $A$、$B$、$F(c,0)$、$P$ 四点共线，故 $k=\frac{y}{x-c}$。代入此式得 $b^{2}x+a^{2}y\cdot \frac{y}{x-c}=0⟹b^{2}x(x-c)+a^2{y}^2=0$ 配方即 $b^2{\left(x-\frac{c}{2}\right)}^2+a^2{y}^2=\frac{b^2{c}^2}{4}$ ② 若 $x_1=x_2$，即 $m$ 为直线 $x=c$，此时 $A$、$B$ 关于 $x$ 轴对称，$P(c,0)$。把它代入 $b^2{\left(x-\frac{c}{2}\right)}^2+a^2{y}^2=\frac{b^2{c}^2}{4}$ 的左边得 $b^2\cdot \frac{c^2}{4}+0=\frac{b^2{c}^2}{4}$，等号成立，故该点也在轨迹上。 所以点 $P$ 的轨迹 $H$ 的方程为 $b^2{\left(x-\frac{c}{2}\right)}^2+a^2{y}^2=\frac{b^2{c}^2}{4}\left(\text{即 }{b}^2{x}^2+a^2{y}^2=b^{2}cx\right)$ 它是一个中心为 $\left(\frac{c}{2},0\right)$ 的椭圆：长半轴为 $\frac{c}{2}$（沿 $x$ 轴），短半轴为 $\frac{bc}{2a}$。由半焦距 $\frac{c^2}{2a}$ 可算出它的离心率仍为 $\frac{c}{a}$，与原椭圆相同。

（2）由 $c^2=a^2-b^2$ 及题设得 $c^2=(1+\cos \theta +\sin \theta )-\sin \theta =1+\cos \theta$ 所以 $c=\sqrt{1+\cos \theta }$。椭圆右准线 $l$ 的方程为 $x=\frac{a^2}{c}$，故原点 $O$ 到 $l$ 的距离为 $d=\frac{a^2}{c}=\frac{1+\cos \theta +\sin \theta }{\sqrt{1+\cos \theta }}$ 因为 $0<\theta ⩽\frac{\pi }{2}$，所以 $0⩽\cos \theta <1$。令 $t=\sqrt{1+\cos \theta }$，则 $t\in \left[1,\sqrt{2}\right)$，且 $\sin \theta =\sqrt{1-{\cos }^2\theta }=\sqrt{1-(t^2-1{)}^2}=t\sqrt{2-t^2}$ 于是 $d=\frac{t^2+t\sqrt{2-t^2}}{t}=t+\sqrt{2-t^2}$ 两边平方： $d^2=t^2+2t\sqrt{2-t^2}+(2-t^2)=2+2\sqrt{t^2(2-t^2)}=2+2\sqrt{1-(t^2-1{)}^2}$ 因为 $t^2\in [1,2)$，所以 $1-(t^2-1{)}^2⩽1$，从而 $d^2⩽4$，即 $d⩽2$； 等号当且仅当 $t^2=1$，即 $\cos \theta =0$，结合 $0<\theta ⩽\frac{\pi }{2}$ 得 $\theta =\frac{\pi }{2}$。 所以当 $\theta =\frac{\pi }{2}$ 时，原点距右准线 $l$ 最远，最远距离为 $2$。

此时 $a^2=1+0+1=2$，$b^2=1$，$c=1$，椭圆 $Q$ 的方程为 $\frac{x^2}{2}+y^2=1$ 右准线 $l:x=\frac{a^2}{c}=2$，与 $x$ 轴交于 $D(2,0)$，而 $F(1,0)$，故 $|DF|=1$。

设 $A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$，直线 $m$ 过 $F(1,0)$，设 $m:x=ty+1$ （$t=0$ 时即为 $m\perp x$ 轴，此设法覆盖过 $F$ 的一切直线。）代入椭圆方程： $\frac{(ty+1{)}^2}{2}+y^2=1⟹(t^2+2)y^2+2ty-1=0$ 由韦达定理 $y_1+y_2=-\frac{2t}{t^2+2},y_1{y}_2=-\frac{1}{t^2+2}$ 下面把 $△ABD$ 的面积化为只含纵坐标的式子。由 $x_i=t{y}_i+1$，按坐标展开三角形面积： $S=\frac{1}{2}\left|x_1{y}_2-x_2{y}_1+x_D(y_1-y_2)\right|$ 其中 $x_1{y}_2-x_2{y}_1=(t{y}_1+1)y_2-(t{y}_2+1)y_1=y_2-y_1$ 而 $x_D=2$，故 $S=\frac{1}{2}\left|(y_2-y_1)+2(y_1-y_2)\right|=\frac{1}{2}\left|y_1-y_2\right|=\frac{1}{2}|DF|\cdot |y_1-y_2|$ （这一步的几何含义正是：以 $DF$ 为底，两交点纵坐标之差为高。） 又 $|y_1-y_2{|}^2=(y_1+y_2{)}^2-4y_1{y}_2=\frac{4t^2}{(t^2+2{)}^2}+\frac{4}{t^2+2}=\frac{8(t^2+1)}{(t^2+2{)}^2}$ 所以 $S=\frac{1}{2}\cdot \frac{2\sqrt{2}\sqrt{t^2+1}}{t^2+2}=\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{t^2+1}}{t^2+2}$ 令 $u=t^2⩾0$，记 $h(u)=\frac{\sqrt{u+1}}{u+2}$，则 $h^{\prime }(u)=\frac{\frac{u+2}{2\sqrt{u+1}}-\sqrt{u+1}}{(u+2{)}^2}=\frac{(u+2)-2(u+1)}{2\sqrt{u+1}(u+2{)}^2}=\frac{-u}{2\sqrt{u+1}(u+2{)}^2}⩽0$ 故 $h(u)$ 在 $[0,+\infty )$ 上单调递减，在 $u=0$ 处取最大值 $h(0)=\frac{1}{2}$。于是 $S⩽\sqrt{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 等号当且仅当 $u=0$，即 $t=0$，此时 $m:x=1$，即直线 $m$ 垂直于 $x$ 轴。 所以当直线 $m$ 绕点 $F$ 转动到与 $x$ 轴垂直的位置（过 $F$ 的竖直线）时，$△ABD$ 的面积最大，最大面积为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：椭圆中点弦轨迹、椭圆的准线与离心率、过定点的直线与圆锥曲线相交构三角形的面积最值。
• 核心方法：点差法（设而不求）消参得轨迹；换元 $t=\sqrt{1+\cos \theta }$ 后平方配方判最值；用 $x=ty+c$ 的设法统一处理「斜率存在／不存在」。
• 避坑指南：
• 点差法只在 $x_1\ne x_2$ 时成立，必须补验 $m\perp x$ 轴的情形。漏掉这一步，轨迹会在右顶点 $A(a,0)$ 处「缺一点」，而方程看上去完全正常，极不容易自查。
• 右准线是 $x=\frac{a^2}{c}$，别和左准线 $x=-\frac{a^2}{c}$ 混。本题问的是「原点距 $l$ 的距离」，取正值，不必考虑不等式方向。
• 换元后一定要同步更新定义域：$\theta \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right]$ 对应 $t\in \left[1,\sqrt{2}\right)$，端点 $t=\sqrt{2}$ 取不到（$\theta =0$ 被题设排除）。本题最值点恰在 $t=1$，能取等；若最值点落在 $t=\sqrt{2}$，就要写成「无最大值、只有上确界」。
• 面积最值不要直接套 $S=\frac{1}{2}|AB|\cdot h$：弦长 $|AB|$ 与点 $D$ 到 $m$ 的距离 $h$ 同时随 $m$ 变化，两个变量互相纠缠。改用 $S=\frac{1}{2}|DF|\cdot |y_1-y_2|$ 把底固定，只剩一个变量。
• 用 $y=k(x-c)$ 设直线会在 $m\perp x$ 轴处漏解，而本题最值恰恰就在那条竖直线上——这正是命题人设的陷阱。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 2006 年江西卷理科解析几何压轴题。它的骨架是「过焦点弦的中点轨迹」，但命题人把椭圆本身参数化（$a^2$、$b^2$ 都用 $\theta$ 表示），再叠一层「准线距离最值」，最后一层才是面积最值，属于当年少见的三层嵌套结构。同年的江西卷文科第 21 题题干与本卷完全相同，第二问改问「轨迹 $H$ 的最高点 $M$、最低点 $N$ 与 $F$ 构成正三角形时的 $\theta$」，答案是 $\theta =\arctan \frac{4}{3}$。 结论推广: ①中点弦轨迹的通式——椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 中，过定点 $(x_0,0)$ 的弦的中点轨迹为 $b^2{\left(x-\frac{x_0}{2}\right)}^2+a^2{y}^2=\frac{b^2{x}_0^2}{4}$，它是与原椭圆离心率相同的椭圆，长半轴恰为 $\frac{|x_0|}{2}$；把 $x_0=c$ 代入即本题答案。 方法推广: ②凡「过 $x$ 轴上定点 $F$ 的弦 $AB$ 与 $x$ 轴上另一点 $D$」构成的三角形，恒有 $S=\frac{1}{2}|DF|\cdot |y_A-y_B|$，与弦的方向无关。这一恒等式把面积最值问题一律降维成「纵坐标差的绝对值」的极值问题，是处理圆锥曲线面积题最省力的入口。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.11 定比分点公式及定比点差法
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2006-江西文-21 解-椭圆中点轨迹
• 2004-福建文-21 解-抛物线弦中点轨迹
• 2008-大纲Ⅱ文-22 解-椭圆直线交点与面积最值