2006-江西文-10 单-向量共线与等差和

本题导读

本题考查平面向量的共线定理，以及等差数列的前 n 项和。

📌【题干】

Question

（2006年江西卷(文)） 已知等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，若 $\overrightarrow{OB}=a_1\overrightarrow{OA}+a_{200}\overrightarrow{OC}$，且 $A$，$B$，$C$ 三点共线（该直线不过点 $O$），则 $S_{200}$ 等于 ()

A. $100$　　　　　　B. $101$　　　　　　C. $200$　　　　　　D. $201$

🔍【思路分析】

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1. $A,B,C$ 三点共线且直线不过 $O$，存在实数 $\lambda$ 使 $\overrightarrow{OB}=(1-\lambda )\overrightarrow{OA}+\lambda \overrightarrow{OC}$。
2. 由 $\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OC}$ 不共线，比较系数得 $a_1=1-\lambda$，$a_{200}=\lambda$。
3. 故 $a_1+a_{200}=1$，$S_{200}=\frac{200(a_1+a_{200})}{2}=100$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

因 $A,B,C$ 在不过 $O$ 的同一直线上，存在实数 $\lambda$ 使 $\overrightarrow{OB}=(1-\lambda )\overrightarrow{OA}+\lambda \overrightarrow{OC}$。 比较题设表示式，利用 $\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OC}$ 的线性无关性，得 $a_1=1-\lambda$，$a_{200}=\lambda$， 从而 $a_1+a_{200}=1$。 等差数列前 $200$ 项和 $S_{200}=\frac{200(a_1+a_{200})}{2}=\frac{200\times 1}{2}=100$，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量共线与等差和

核心方法：共线系数和为一

避坑指南：$\overrightarrow{OB}=\lambda \overrightarrow{OA}+(1-\lambda )\overrightarrow{OC}$ 型系数和为 $1$：$a_1+a_{200}=1$，$S_{200}=100\times 1=100$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自向量共线定理与等差数列性质交汇

结论推广: 系数和为 1 推广到 $\overrightarrow{OB}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OC}$ 共线结构

方法推广: 共线不过端点则系数和恒为 1

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2008-广东文-03 单-向量共线坐标求和
• 2008-新课标Ⅰ文-09 单-向量共线充要