2004-浙江文-04 单-向量共线求正切

本题导读

本题考查向量共线的坐标判据，以及同角三角函数的关系。

📌【题干】

Question

（2004年浙江卷(文)） 已知向量 $\vec{a}=(3,4)$，$\vec{b}=(\sin \alpha ,\cos \alpha )$，且 $\vec{a}\parallel \vec{b}$，则 $\tan \alpha =$()

A. $\frac{3}{4}$　　　　　　B. $-\frac{3}{4}$　　　　　　C. $\frac{4}{3}$　　　　　　D. $-\frac{4}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\vec{a}\parallel \vec{b}$：$3\cos \alpha -4\sin \alpha =0$。
2. 若 $\cos \alpha =0$ 上式不成立，故 $\cos \alpha \ne 0$。
3. $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{3}{4}$，选 A。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\vec{a}\parallel \vec{b}$，所以两向量的行列式为零，即 $3\cos \alpha -4\sin \alpha =0$.若 $\cos \alpha =0$，上式不成立，故 $\cos \alpha \ne 0$，从而 $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{3}{4}$，故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量共线求正切
2. 核心方法：$\vec{a}\parallel \vec{b}$ 则 $3\cos \alpha -4\sin \alpha =0$；$\cos \alpha =0$ 不成立，故 $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{3}{4}$
3. 避坑指南：共线判据”分量成比例”写成 $3\cos \alpha =4\sin \alpha$；除以 $\cos \alpha$ 前先排除 $\cos \alpha =0$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于向量共线的坐标判据，教材”平面向量”
2. 结论推广: 一般化：$\vec{a}\parallel \vec{b}⟺x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$；由共线条件列分量方程，解出 $\tan$ 前排除分母为零

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2008-广东文-03 单-向量共线坐标求和
• 2006-江西文-10 单-向量共线与等差和
• 2009-北京文-02 单-向量共线