2006-江西文-07 单-二项式常数项

本题导读

本题考查二项式定理，以及二项展开式的通项。

📌【题干】

Question

（2006年江西卷(文)） 在 ${\left(\sqrt{x}+\frac{2}{x}\right)}^n$ 的二项展开式中，若常数项为 $60$，则 $n$ 等于 ()

A. $3$　　　　　　　B. $6$　　　　　　　C. $9$　　　　　　　D. $12$

🔍【思路分析】

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1. 通项 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_n^k(\sqrt{x}{)}^{n-k}{\left(\frac{2}{x}\right)}^k={\mathrm{C}}_n^k{2}^k{x}^{\frac{n-3k}{2}}$。
2. 常数项要求 $\frac{n-3k}{2}=0$，即 $n=3k$。
3. 检验选项：$n=6$ 时 $k=2$，系数 ${\mathrm{C}}_6^2\cdot 2^2=15\times 4=60$，符合。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

展开式的第 $k+1$ 项为 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_n^k(\sqrt{x}{)}^{n-k}{\left(\frac{2}{x}\right)}^k={\mathrm{C}}_n^k{2}^k{x}^{\frac{n-3k}{2}}$。 常数项要求 $\frac{n-3k}{2}=0$，即 $n=3k$。 检验各选项：$n=3$ 时系数 ${\mathrm{C}}_3^1\cdot 2=6$；$n=6$ 时系数 ${\mathrm{C}}_6^2\cdot 2^2=15\times 4=60$；$n=9$ 时 ${\mathrm{C}}_9^3\cdot 2^3=672$；$n=12$ 时 ${\mathrm{C}}_{12}^4\cdot 2^4=7920$。 只有 $n=6$ 时常数项为 $60$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式常数项

核心方法：常数项令指数为零

避坑指南：通项 ${\mathrm{C}}_n^k{2}^k{x}^{\frac{n-3k}{2}}$，常数项 $n=3k$ 且 $k=\frac{n}{3}\in \mathbf{Z}$；$n=6$ 时 ${\mathrm{C}}_6^2\cdot 4=60$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自二项式定理常数项，指定项反求 n

结论推广: 常数项指数为零推广到任意指定项

方法推广: n 必须是 3 的倍数先筛选选项

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2008-北京文-12 填-二项式常数项与系数和
• 2008-江西文-08 单-二项式定理常数项