2006-江苏卷-19 解-折叠二面角与线面角

本题导读

取边长 $3$ 建系，$A_1=(1,\sqrt{3},1)$；线面角 $60^{\circ }$；二面角 $\pi -\arccos \frac{7}{8}$。

📌【题干】

Question

（2006年江苏卷） 在正三角形 $ABC$ 中，$E$、$F$、$P$ 分别是 $AB$、$AC$、$BC$ 边上的点，满足 $AE:EB=CF:FA=CP:PB=1:2$（如图 1）。将 $△AEF$ 沿 $EF$ 折起到 $△A_{1}EF$ 的位置，使二面角 $A_1-EF-B$ 成直二面角，连接 $A_{1}B$、$A_{1}P$（如图 2）。

(1) 求证：$A_{1}E\perp$ 平面 $BEP$；

(2) 求直线 $A_{1}E$ 与平面 $A_{1}BP$ 所成角的大小；

(3) 求二面角 $B-A_{1}P-F$ 的大小。（用反三角函数表示）

🔍【思路分析】

破题导航

(1)

1. 折叠前证明 $AE\perp EF$（由边长比例与勾股）。
2. 折叠后 $A_{1}E\perp EF$ 保持，且二面角 $A_1-EF-B$ 为直二面角。
3. 由面面垂直性质得 $A_{1}E\perp$ 平面 $BEF$，即平面 $BEP$。 (2)
4. 取边长 $3$ 建空间直角坐标系，写出各点坐标。
5. 求平面 $A_{1}BP$ 的法向量，用线面角公式。 (3)
6. 求两个面的法向量。
7. 用法向量夹角求二面角，注意钝角判断。

✅【答案】

Success

(1) 证明见解析

(2) $60^{\circ }$

(3) $\pi -\arccos \frac{7}{8}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 取正三角形 $ABC$ 的边长为 $3$。由 $AE:EB=1:2$ 得 $AE=1$，$EB=2$； $AF:FC=2:1$ 得 $AF=2$，$FC=1$；$CP:PB=1:2$ 得 $CP=1$，$PB=2$。 在 $△AEF$ 中，$AE=1$，$AF=2$，$\angle EAF=60^{\circ }$， 由余弦定理 $E{F}^2=1^2+2^2-2\times 1\times 2\cos 60^{\circ }=1+4-2=3$，故 $EF=\sqrt{3}$。 于是 $A{E}^2+E{F}^2=1+3=4=A{F}^2$，所以 $AE\perp EF$。 折叠后 $A_{1}E\perp EF$ 仍成立。 又二面角 $A_1-EF-B$ 为直二面角，即平面 $A_{1}EF\perp$ 平面 $BEF$， 且 $A_{1}E$ 在平面 $A_{1}EF$ 内且垂直于交线 $EF$， 由面面垂直的性质定理，$A_{1}E\perp$ 平面 $BEF$。 因为 $B$、$E$、$P$ 均在平面 $ABC$ 内，平面 $BEP=$ 平面 $BEF$，所以 $A_{1}E\perp$ 平面 $BEP$。

(2) 以折叠前的平面 $ABC$ 为 $z=0$ 平面建系，取 $B=(0,0,0)$，$C=(3,0,0)$，$A=\left(\frac{3}{2},\frac{3\sqrt{3}}{2},0\right)$。 由分点关系 $E=(1,\sqrt{3},0)$，$F=\left(\frac{5}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)$，$P=(2,0,0)$。 折叠后 $A_{1}E\perp$ 底面且 $A_{1}E=AE=1$，取 $A_1=(1,\sqrt{3},1)$。 平面 $A_{1}BP$ 内，$\overrightarrow{BP}=(2,0,0)$，$\overrightarrow{B{A}_1}=(1,\sqrt{3},1)$， 法向量 $\vec{n}=\overrightarrow{BP}\times \overrightarrow{B{A}_1}=(0,-2,2\sqrt{3})$。 直线 $A_{1}E$ 的方向向量 $\vec{u}=(0,0,1)$。 设线面角为 $\theta$，则 $\sin \theta =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{n}|}{|\vec{u}||\vec{n}|}=\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。 因为 $0<\theta <\frac{\pi }{2}$，所以 $\theta =60^{\circ }$。

(3) 面 $A_{1}BP$ 的法向量取 ${\vec{n}}_1=(0,-2,2\sqrt{3})$（或简化 $(0,-1,\sqrt{3})$）。 面 $A_{1}PF$ 内，$\overrightarrow{P{A}_1}=(-1,\sqrt{3},1)$，$\overrightarrow{PF}=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)$， 法向量 ${\vec{n}}_2=\overrightarrow{P{A}_1}\times \overrightarrow{PF}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)$（或按比例简化）。 $\cos ⟨{\vec{n}}_1,{\vec{n}}_2⟩=\frac{{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2}{|{\vec{n}}_1||{\vec{n}}_2|}=-\frac{7}{8}$。 二面角 $B-A_{1}P-F$ 为钝角，故其大小为 $\pi -\arccos \frac{7}{8}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：折叠二面角与线面角

核心方法：建系向量求线面角二面角

避坑指南：取边长 $3$ 建系，$A_1=(1,\sqrt{3},1)$；线面角 $\sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$ 得 $60^{\circ }$；二面角 $\cos \phi =-\frac{7}{8}$ 得 $\pi -\arccos \frac{7}{8}$；直二面角条件用于证 $A_{1}E\perp$ 底面

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自折叠问题的立体几何综合，考查线面垂直、线面角、二面角

结论推广: 折叠前后不变量的利用推广到一般翻折问题（折叠前后垂直关系保持）

方法推广: 建系时取边长 $3$ 简化坐标，法向量求角时注意二面角钝角判断

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 21.02 空间向量与线面位置关系判定
• 21.03 空间向量求角

类题演练 (Links)

• 2009-福建卷文-20 解-折叠与线面垂直
• 2011-陕西卷理-16 解-折叠几何体
• 2015-陕西卷文-18 解-折叠棱锥