2006-江苏卷-17 解-椭圆双曲线标准方程

本题导读

由焦点坐标 $c=6$，椭圆 $2a=6\sqrt{5}$ 得 $a^2=45$；对称后焦点在 $y$ 轴，双曲线 $a_1^2=20$。

📌【题干】

Question

（2006年江苏卷） 已知三点 $P(5,2)$、$F_1(-6,0)$、$F_2(6,0)$。

(1) 求以 $F_1$、$F_2$ 为焦点且过点 $P$ 的椭圆的标准方程；

(2) 设点 $P$、$F_1$、$F_2$ 关于直线 $y=x$ 的对称点分别为 $P^{\prime }$、$F_1^{\prime }$、$F_2^{\prime }$，求以 $F_1^{\prime }$、$F_2^{\prime }$ 为焦点且过点 $P^{\prime }$ 的双曲线的标准方程。

🔍【思路分析】

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(1)

1. 焦点在 $x$ 轴，设椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，$c=6$。
2. $|P{F}_1|+|P{F}_2|=2a$，计算得 $2a=6\sqrt{5}$，$a^2=45$。
3. $b^2=a^2-c^2=9$，得椭圆方程。 (2)
4. 关于 $y=x$ 对称：$P^{\prime }=(2,5)$，$F_1^{\prime }=(0,-6)$，$F_2^{\prime }=(0,6)$。
5. 焦点在 $y$ 轴，设 $\frac{y^2}{a_1^2}-\frac{x^2}{b_1^2}=1$，$c_1=6$。
6. $2a_1=|P{F}_1^{\prime }-P{F}_2^{\prime }|=4\sqrt{5}$，$a_1^2=20$，$b_1^2=16$。

✅【答案】

Success

(1) $\frac{x^2}{45}+\frac{y^2}{9}=1$

(2) $\frac{y^2}{20}-\frac{x^2}{16}=1$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设椭圆方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），焦距 $2c=12$，故 $c=6$。 $|P{F}_1|=\sqrt{(5+6{)}^2+2^2}=\sqrt{121+4}=\sqrt{125}=5\sqrt{5}$， $|P{F}_2|=\sqrt{(5-6{)}^2+2^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$。 由椭圆定义 $2a=|P{F}_1|+|P{F}_2|=5\sqrt{5}+\sqrt{5}=6\sqrt{5}$，故 $a=3\sqrt{5}$，$a^2=45$。 $b^2=a^2-c^2=45-36=9$。 所以椭圆的标准方程为 $\frac{x^2}{45}+\frac{y^2}{9}=1$。

(2) 点关于直线 $y=x$ 的对称点把横纵坐标互换： $P^{\prime }=(2,5)$，$F_1^{\prime }=(0,-6)$，$F_2^{\prime }=(0,6)$。 此时焦点在 $y$ 轴上，设双曲线方程为 $\frac{y^2}{a_1^2}-\frac{x^2}{b_1^2}=1$，$c_1=6$。 $|P^{\prime }{F}_1^{\prime }|=\sqrt{2^2+(5+6{)}^2}=\sqrt{4+121}=5\sqrt{5}$， $|P^{\prime }{F}_2^{\prime }|=\sqrt{2^2+(5-6{)}^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$。 由双曲线定义 $2a_1=\left||P^{\prime }{F}_1^{\prime }|-|P^{\prime }{F}_2^{\prime }|\right|=5\sqrt{5}-\sqrt{5}=4\sqrt{5}$，故 $a_1=2\sqrt{5}$，$a_1^2=20$。 $b_1^2=c_1^2-a_1^2=36-20=16$。 所以双曲线的标准方程为 $\frac{y^2}{20}-\frac{x^2}{16}=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆双曲线标准方程

核心方法：椭圆双曲线定义求标准方程

避坑指南：$2a=6\sqrt{5}\Rightarrow a^2=45$，$b^2=9$；对称后焦点在 $y$ 轴，$2a_1=4\sqrt{5}\Rightarrow a_1^2=20$，$b_1^2=16$；焦点坐标 $c=6$ 保持不变

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自圆锥曲线定义法求标准方程，是解析几何的经典基础

结论推广: 由焦点与过定点用定义求 $2a$，推广到椭圆双曲线标准方程的通用求法

方法推广: 椭圆 $2a$ 为定值、双曲线 $2a$ 为距离差的绝对值，焦距 $c$ 由焦点坐标读出

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷理-20 解-椭圆与双曲线的标准方程