2006-江苏卷-16 填-对数不等式解集

本题导读

$0<\frac{x+1}{x+6}⩽8$ 且 $x\ne -6$，解集 $(-3-2\sqrt{2},-3+2\sqrt{2})\cup \{1\}$。

📌【题干】

Question

（2006年江苏卷） 不等式 ${\log }_2\left(x+\frac{1}{x}+6\right)⩽3$ 的解集为 $\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 ${\log }_2\left(x+\frac{1}{x}+6\right)⩽3={\log }_{2}8$，且底数 $2>1$。
2. 得 $0<x+\frac{1}{x}+6⩽8$。
3. 解 $x+\frac{1}{x}+6>0$ 与 $x+\frac{1}{x}+6⩽8$ 的交集。
4. 注意 $x\ne 0$。

✅【答案】

Success

$(-3-2\sqrt{2},-3+2\sqrt{2})\cup \{1\}$

✍【详细解析】

Abstract

底数 $2>1$，对数函数递增，且真数必须为正。 由 ${\log }_2\left(x+\frac{1}{x}+6\right)⩽3$ 得 $0<x+\frac{1}{x}+6⩽8$。 即 $-6<x+\frac{1}{x}⩽2$。 解 $x+\frac{1}{x}⩽2$：$x+\frac{1}{x}-2=\frac{(x-1{)}^2}{x}⩽0$，得 $x<0$ 或 $x=1$。 解 $x+\frac{1}{x}>-6$：$x+\frac{1}{x}+6=\frac{x^2+6x+1}{x}>0$， $x^2+6x+1$ 的根为 $x=-3\pm 2\sqrt{2}$，结合符号得 $x\in (-3-2\sqrt{2},-3+2\sqrt{2})\cup (0,+\infty )$。 与 $x<0$ 或 $x=1$ 求交集，得 $x\in (-3-2\sqrt{2},-3+2\sqrt{2})\cup \{1\}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数不等式解集

核心方法：对数不等式化整式

避坑指南：${\log }_2\frac{x+1}{x+6}⩽3$ 得 $0<\frac{x+1}{x+6}⩽8$，且 $x\ne -6$，解集 $(-3-2\sqrt{2},-3+2\sqrt{2})\cup \{1\}$；$x=1$ 时真数为 $\frac{2}{7}$ 恰取等

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自对数不等式的解法，考查定义域与真数条件的处理

结论推广: 对数不等式化整式不等式并补定义域，推广到含参数对数不等式

方法推广: ${\log }_{a}u⩽v$ 需分 $a>1$ 与 $0<a<1$ 讨论，并保证真数 $u>0$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2012-江苏卷-14 填-对数不等式与比值范围
• 2026-北京卷-13 填-对数不等式