2006-广东卷-14 填-正三棱锥球数新定义

本题导读

第 $n$ 堆共 $n$ 层，从第 $1$ 层到第 $n$ 层的小球数依次为 $1,2,\cdots ,n$，故 $f(n)=1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$，$f(3)=\frac{3\times 4}{2}=6$。

📌【题干】

Question

（2006年广东卷） 在德国不莱梅举行的第 $48$ 届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆”正三棱锥”形的展品，其中第 $1$ 堆只有 $1$ 层，就一个球；第 $2,3,4,\cdots$ 堆最底层（第一层）分别按图示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第 $n$ 堆第 $n$ 层就放一个乒乓球，以 $f(n)$ 表示第 $n$ 堆的乒乓球总数，则 $f(3)=$　　　　；$f(n)=$　　　　.（答案用 $n$ 表示）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第 $n$ 堆共 $n$ 层，第 $i$ 层（从下往上）有 $i$ 个球。
2. 故 $f(n)=1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$。
3. $f(3)=\frac{3\times 4}{2}=6$。

✅【答案】

Success

$6$；$\frac{n(n+1)}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

第 $n$ 堆共有 $n$ 层，由堆放方式知第 $1$ 层至第 $n$ 层的小球数依次为 $1,2,\cdots ,n$，故 $f(n)=1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}.$ 于是 $f(3)=\frac{3\times 4}{2}=6$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正三棱锥球数新定义

核心方法：第 $n$ 堆共 $n$ 层，第 $i$ 层 $i$ 个球，$f(n)=1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$，$f(3)=6$

避坑指南：看清”第 $n$ 堆第 $n$ 层放一个”——即每层球数等于层号，是自然数和

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 新定义数列（正三棱锥球堆），自然数求和

结论推广: $f(n)=\frac{n(n+1)}{2}$，$f(3)=6$

方法推广: 理解堆放规律：第 $n$ 层 $n$ 个球，总数是自然数和

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2012-湖南卷文-16 填-二进制新定义数列
• 2009-北京文-14 填-新定义孤立元