2006-广东卷-07 单-反函数图象求根

本题导读

反函数 $y=f^{-1}(x)$ 的图象与 $y$ 轴交于 $P(0,2)$，即 $f^{-1}(0)=2$；由反函数定义 $f(2)=0$，故方程 $f(x)=0$ 在 $[1,4]$ 上的根是 $x=2$，选 C。

📌【题干】

Question

（2006年广东卷） 函数 $y=f(x)$ 的反函数 $y=f^{-1}(x)$ 的图象与 $y$ 轴交于点 $P(0,2)$（如图所示），则方程 $f(x)=0$ 在 $[1,4]$ 上的根是 $x=$()

A. $4$　　　　　　　B. $3$　　　　　　　C. $2$　　　　　　　D. $1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 点 $P(0,2)$ 在反函数图象上 ⟺ $f^{-1}(0)=2$。
2. 由反函数的定义：$f^{-1}(0)=2$ ⟺ $f(2)=0$。
3. 即 $x=2$ 是方程 $f(x)=0$ 的根，且 $2\in [1,4]$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

反函数图象上的点 $P(0,2)$ 表明 $f^{-1}(0)=2$． 由反函数的定义，$f^{-1}(0)=2⟺f(2)=0$，所以方程 $f(x)=0$ 的根为 $x=2$，选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反函数图象求根

核心方法：反函数图象过 $P(0,2)$ 即 $f^{-1}(0)=2$，由反函数定义 $f(2)=0$，根为 $x=2$

避坑指南：$(a,b)$ 在 $y=f^{-1}(x)$ 上 ⟺ $(b,a)$ 在 $y=f(x)$ 上，点坐标互换

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 反函数图象与方程根，反函数概念

结论推广: $(0,2)$ 在 $f^{-1}$ 图象上 ⟺ $f(2)=0$

方法推广: 原函数与反函数图象关于 $y=x$ 对称，点坐标互换

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2007-辽宁文-02 单-反函数图象对称
• 2007-辽宁卷理-02 单-函数反函数图象对称性
• 2007-天津卷理-09 单-反函数图象对称性