2006-广东卷-02 单-复数方程求幂

本题导读

由 $z^2+2=0$ 得 $z^2=-2=2i^2$，$z=\pm \sqrt{2}i$；于是 $z^3=z\cdot z^2=-2z=\mp 2\sqrt{2}i$，即 $z^3=\pm 2\sqrt{2}i$，选 D。

📌【题干】

Question

（2006年广东卷） 若复数 $z$ 满足方程 $z^2+2=0$，则 $z^3=$()

A. $\pm 2\sqrt{2}$　　　　　　B. $-2\sqrt{2}$　　　　　　C. $-2\sqrt{2}i$　　　　　　D. $\pm 2\sqrt{2}i$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $z^2=-2$，由 $i^2=-1$ 得 $-2=2i^2$，故 $z=\pm \sqrt{2}i$。
2. $z^3=z\cdot z^2=z\cdot (-2)=-2z$。
3. 当 $z=\sqrt{2}i$ 时 $z^3=-2\sqrt{2}i$；当 $z=-\sqrt{2}i$ 时 $z^3=2\sqrt{2}i$，合写为 $\pm 2\sqrt{2}i$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

由 $z^2+2=0$ 得 $z^2=-2=2i^2$，故 $z=\pm \sqrt{2}i$． 于是 $z^3=z\cdot z^2=z\cdot (-2)=-2z$， 即 $z=\sqrt{2}i$ 时 $z^3=-2\sqrt{2}i$，$z=-\sqrt{2}i$ 时 $z^3=2\sqrt{2}i$，合写为 $z^3=\pm 2\sqrt{2}i$，选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数方程求幂

核心方法：$z^2=-2=2i^2$ 得 $z=\pm \sqrt{2}i$，$z^3=z\cdot z^2=-2z=\mp 2\sqrt{2}i=\pm 2\sqrt{2}i$

避坑指南：先求 $z$ 的平方根（含 $\pm$）；$z^3=z\cdot z^2$ 用已知 $z^2$ 简化，别直接三次方

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 复数方程求幂，复数的平方与乘法

结论推广: $z^2=-2\Rightarrow z=\pm \sqrt{2}i$，$z^3=z\cdot z^2$

方法推广: 用已知低次幂递推求高次幂，避免逐项展开

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2007-湖南卷理-01 单-复数四则运算乘方
• 2009-广东卷文-02 单-复数幂
• 2013-大纲卷理-02 单-复数的乘方运算