2006-山东文-20 解-四棱锥空间向量

本题导读

本题考查空间向量。核心在于垂直条件定坐标再算角。

📌【题干】

Question

（2006年山东卷(文)） 如图，已知四棱锥 $P-ABCD$ 的底面 $ABCD$ 为等腰梯形，$AB\parallel DC$，$AC\perp BD$，$AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$，且顶点 $P$ 在底面上的射影恰为 $O$ 点。又 $BO=2$，$PO=\sqrt{2}$，$PB\perp PD$。 （1）求异面直线 $PD$ 与 $BC$ 所成角的余弦值； （2）求二面角 $P-AB-C$ 的大小； （3）设点 $M$ 在棱 $PC$ 上，且 $\frac{PM}{MC}=\lambda$，问 $\lambda$ 为何值时，$PC\perp$ 平面 $BMD$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 以 $O$ 为原点、$BD$ 为 $x$ 轴、$AC$ 为 $y$ 轴建系：$B=(2,0,0)$，$D=(-d,0,0)$，$P=(0,0,\sqrt{2})$，$A=(0,u,0)$，$C=(0,-v,0)$。
2. $AB\parallel DC$ 给 $\frac{d}{2}=\frac{v}{u}$，等腰给 $d^2+u^2=4+v^2$；$PB\perp PD$ 给 $-2d+2=0$，$d=1$；解得 $u=2,v=1$。
3. (1) $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{DP}\cdot \overrightarrow{BC}|}{|\overrightarrow{DP}||\overrightarrow{BC}|}=\frac{2}{\sqrt{3}\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{15}}{15}$；(2) 两面法向量夹角 $\cos =\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\theta =45^{\circ }$；(3) $\overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{BM}=0\Rightarrow \lambda =2$，验证 $\overrightarrow{PC}\perp \overrightarrow{DM}$ 成立。

✅【答案】

Success

(1)$\frac{2\sqrt{15}}{15}$

(2)$45^{\circ }$

(3)$\lambda =2$

✍【详细解析】

Abstract

在底面内建立直角坐标系，使 $O$ 为原点，$BD$ 为 $x$ 轴，$AC$ 为 $y$ 轴，并取竖直方向为 $z$ 轴。 由 $BO=2$、$PB\perp PD$、$PO=\sqrt{2}$，可设 $B=(2,0,0)$，$D=(-d,0,0)$，$P=(0,0,\sqrt{2})$，$A=(0,u,0)$，$C=(0,-v,0)$。 因为 $AB\parallel DC$，有 $\frac{d}{2}=\frac{v}{u}$。又四边形 $ABCD$ 为等腰梯形，所以 $AD=BC$，从而 $d^2+u^2=4+v^2$。 由 $\overrightarrow{PB}=(2,0,-\sqrt{2})$、$\overrightarrow{PD}=(-d,0,-\sqrt{2})$ 以及 $PB\perp PD$，得 $\overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{PD}=-2d+2=0$，所以 $d=1$。 结合 $v=\frac{ud}{2}=\frac{u}{2}$ 和 $d^2+u^2=4+v^2$，得 $u=2$，$v=1$。 因而 $A=(0,2,0)$，$B=(2,0,0)$，$C=(0,-1,0)$，$D=(-1,0,0)$，$P=(0,0,\sqrt{2})$。

（1）取 $\overrightarrow{DP}=(1,0,\sqrt{2})$ 和 $\overrightarrow{BC}=(-2,-1,0)$ 分别为两异面直线的方向向量， 则两直线所成的锐角 $\theta$ 满足 $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{DP}\cdot \overrightarrow{BC}|}{|\overrightarrow{DP}||\overrightarrow{BC}|}=\frac{2}{\sqrt{3}\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{15}}{15}$。

（2）取平面 $PAB$ 和平面 $CAB$ 的法向量 ${\mathbf{n}}_1=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AP}=(-2\sqrt{2},-2\sqrt{2},-4)$，${\mathbf{n}}_2=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(0,0,-6)$。 于是二面角的平面角 $\theta$ 满足 $\cos \theta =\frac{|{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2|}{|{\mathbf{n}}_1||{\mathbf{n}}_2|}=\frac{24}{4\sqrt{2}\times 6}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。所以 $\theta =45^{\circ }$。

（3）设 $M$ 将 $PC$ 按 $PM:MC=\lambda :1$ 内分，则 $M=\frac{P+\lambda C}{\lambda +1}=\left(0,-\frac{\lambda }{\lambda +1},\frac{\sqrt{2}}{\lambda +1}\right)$。 因为 $PC\perp$ 平面 $BMD$，所以 $PC$ 垂直于平面内的直线 $BM$。 取 $\overrightarrow{PC}=(0,-1,-\sqrt{2})$，则 $\overrightarrow{BM}=\left(-2,-\frac{\lambda }{\lambda +1},\frac{\sqrt{2}}{\lambda +1}\right)$， 从而 $\overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{BM}=\frac{\lambda -2}{\lambda +1}=0$，故 $\lambda =2$。 此时 $M$ 确在棱 $PC$ 上，且 $\overrightarrow{DM}=\left(1,-\frac{2}{3},\frac{\sqrt{2}}{3}\right)$， 从而 $\overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{DM}=\frac{2}{3}-\frac{2}{3}=0$，所以 $PC\perp DM$，条件成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：四棱锥空间向量

核心方法：垂直条件定坐标再算角

避坑指南：$\overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{PD}=0\Rightarrow d=1$，结合等腰得 $A(0,2),B(2,0),C(0,-1),D(-1,0),P(0,0,\sqrt{2})$；异面角 $\arccos \frac{2\sqrt{15}}{15}$、二面角 $45^{\circ }$、$\lambda =2$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自四棱锥垂直建系，空间向量压轴题

结论推广: 垂直条件定坐标推广到一切锥体建系

方法推广: $PB\perp PD$ 是解出底面尺寸的钥匙

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2008-天津文-19 解-四棱锥垂直与二面角
• 2008-大纲Ⅰ文-18 解-四棱锥垂直二面角