2006-安徽文-18 解-古典概型选添加剂

本题导读

本题考查古典概型。核心在于组合计数与对立事件。

📌【题干】

Question

（2006年安徽卷(文)） 在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较，在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂。现有芳香度分别为 $0$，$1$，$2$，$3$，$4$，$5$ 的六种添加剂可供选用。根据试验设计学原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。

(1) 求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于 $4$ 的概率；

(2) 求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于 $3$ 的概率。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 从 $6$ 种添加剂中选 $2$ 种不同的，共 ${\mathrm{C}}_6^2=15$ 种等可能取法。
2. (1) 和为 $4$ 的搭配：$(0,4)$、$(1,3)$ 共 $2$ 种，概率 $\frac{2}{15}$。
3. (2) “和不小于 $3$” 的对立面是”和小于 $3$”：$(0,1)$、$(0,2)$ 共 $2$ 种，用 $1-\frac{2}{15}$。
4. (2) 也可直接列举和 $⩾3$ 的搭配数验证：$15-2=13$ 种。

✅【答案】

Success

(1) $\frac{2}{15}$

(2) $\frac{13}{15}$

✍【详细解析】

Abstract

从芳香度为 $0$，$1$，$2$，$3$，$4$，$5$ 的六种添加剂中随机选取两种不同的， 总取法数 ${\mathrm{C}}_6^2=\frac{6\times 5}{2}=15$ 种，每种取法等可能。 (1) 设”两种添加剂的芳香度之和等于 $4$“为事件 $A$。 列举和为 $4$ 的搭配：$(0,4)$，$(1,3)$，共 $2$ 种。 故 $P(A)=\frac{2}{15}$。 (2) 设”两种添加剂的芳香度之和不小于 $3$“为事件 $B$，其对立事件 $\bar{B}$ 为”和小于 $3$”。 和小于 $3$ 的搭配：$(0,1)$ 和为 $1$，$(0,2)$ 和为 $2$，共 $2$ 种，$P(\bar{B})=\frac{2}{15}$。 故 $P(B)=1-P(\bar{B})=1-\frac{2}{15}=\frac{13}{15}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：古典概型选添加剂

核心方法：组合计数直接算概率

避坑指南：总取法 ${\mathrm{C}}_6^2=15$；和为 $4$：$(0,4),(1,3)$ 共 $2$ 种得 $\frac{2}{15}$；对立面算和小于 $3$：$(0,1),(0,2)$ 共 $2$ 种，$1-\frac{2}{15}=\frac{13}{15}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自古典概型应用题，试验设计背景

结论推广: 组合计数算概率推广到”至少""至多”用对立面

方法推广: ${\mathrm{C}}_6^2=15$ 作分母，和为定值的搭配逐一举出

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

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• 2009-四川卷文-18 解-熊猫卡古典概型