2006-安徽文-10 单-线性规划最大值

本题导读

本题考查线性规划，以及二元一次不等式组。

📌【题干】

Question

（2006年安徽卷(文)） 如果实数 $x$，$y$ 满足条件 $\{\begin{array}{l}x-y+1⩾0,\\ y+1⩾0,\\ x+y+1⩽0,\end{array}$ 那么 $2x-y$ 的最大值为 ()

A. $2$　　　　　　　B. $1$　　　　　　　C. $-2$　　　　　　　D. $-3$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 约束化为 $y⩽x+1$，$y⩾-1$，$y⩽-x-1$。
2. 三边界两两相交，可行域为三角形，顶点 $(0,-1)$、$(-2,-1)$、$(-1,0)$。
3. $z=2x-y$ 在三顶点分别取 $1$、$-3$、$-2$，最大值 $1$ 在 $(0,-1)$ 取得。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

约束条件化为 $y⩽x+1$，$y⩾-1$，$y⩽-x-1$。 三边界两两相交得可行域三角形，顶点为 $(0,-1)$，$(-2,-1)$，$(-1,0)$。 目标函数 $z=2x-y$ 在各顶点的取值： $(0,-1)$：$z=2\times 0-(-1)=1$；$(-2,-1)$：$z=-4+1=-3$；$(-1,0)$：$z=-2$。 故 $z$ 的最大值为 $1$，选 B。 ★【裁定】答案册标 A（2），但原题条件与多源官方详解（21cnjy/bodocs：“当直线过点 (0,-1) 时最大，故选 B”）均为 1， 逐顶点复算亦为 1，按 B 录入。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划最大值

核心方法：画可行域平移目标线

避坑指南：三条直线围成三角形，顶点 $(0,-1)$ 处 $2x-y$ 最大为 $1$；答案册给 $2$ 系误，逐顶点代入才是硬道理

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自线性规划最值，目标函数斜率分析

结论推广: $2x-y$ 在可行域顶点取最值，推广到目标函数含绝对值的变式

方法推广: 画准约束区域，平移直线族找最远交点

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 03.06 简单的线性规划

类题演练 (Links)

• 2008-天津文-02 单-线性规划最大值
• 2008-广东文-12 填-线性规划最大值