2006-安徽文-06 单-正八面体外接球

本题导读

本题考查正八面体，以及球的体积。

📌【题干】

Question

（2006年安徽卷(文)） 表面积为 $2\sqrt{3}$ 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 ()

A. $\frac{\sqrt{2}}{3}\pi$　　　　　　B. $\frac{1}{3}\pi$　　　　　　C. $\frac{2}{3}\pi$　　　　　　D. $\frac{2\sqrt{2}}{3}\pi$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 正八面体由 $8$ 个全等正三角形组成：$8\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2=2\sqrt{3}$，得 $a=1$。
2. 正八面体可看作两个共底正四棱锥对拼，外接球直径=相对顶点距离 $=\sqrt{2}a=\sqrt{2}$。
3. $R=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi \cdot \frac{2\sqrt{2}}{8}=\frac{\sqrt{2}}{3}\pi$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

正八面体的 $8$ 个面均为正三角形。由表面积 $8\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2=2\sqrt{3}$，得 $a^2=1$，棱长 $a=1$。 正八面体相对的两个顶点的连线恰为外接球的直径，其长为 $\sqrt{2}a=\sqrt{2}$，故 $R=\frac{\sqrt{2}}{2}$。 球的体积 $V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi \cdot \frac{2\sqrt{2}}{8}=\frac{\sqrt{2}}{3}\pi$，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正八面体外接球

核心方法：表面积定棱长再定球径

避坑指南：正八面体 $8$ 个正三角形面，$8\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2=2\sqrt{3}$ 得 $a=1$；对角顶点距 $\sqrt{2}$ 即直径 $2R=\sqrt{2}$，$V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{\sqrt{2}}{3}\pi$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自正多面体与外接球，表面积与体积的综合

结论推广: 正八面体外接球径 $R=\frac{\sqrt{2}}{2}a$ 推广到正多面体通用求法

方法推广: 先由表面积定棱长，再找最长对角线作直径

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 2009-陕西卷文-11 单-正八面体体积
• 2008-浙江文-15 填-外接球体积