2006-安徽文-03 单-指数型反函数

本题导读

本题考查反函数，以及指数函数与对数函数。

📌【题干】

Question

（2006年安徽卷(文)） 函数 $y=e^{x+1}$（$x\in \mathbf{R}$）的反函数是 ()

A. $y=1+\ln x$（$x>0$）　　　　　　　　　　　　　　B. $y=1-\ln x$（$x>0$）

C. $y=-1-\ln x$（$x>0$）　　　　　　　　　　　　　D. $y=-1+\ln x$（$x>0$）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $y=e^{x+1}$，两边取对数：$x+1=\ln y$。
2. 解得 $x=\ln y-1$。
3. 互换 $x$、$y$：反函数 $y=\ln x-1=-1+\ln x$（$x>0$）。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

由 $y=e^{x+1}$（$x\in \mathbf{R}$），值域为 $(0,+\infty )$。 两边取自然对数得 $x+1=\ln y$，即 $x=\ln y-1$。 互换 $x$、$y$ 得反函数 $y=\ln x-1=-1+\ln x$（$x>0$），选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指数型反函数

核心方法：指数对数互换

避坑指南：$y=e^{x+1}$ 值域 $(0,+\infty )$，反解 $x=\ln y-1$，反函数 $y=\ln x-1$（$x>0$）即 $y=-1+\ln x$；指数式 $e^{x+1}$ 别看成 $e^x+1$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自指数与对数互为反函数，教材基本题

结论推广: $y=e^{x+1}$ 型反函数求法推广到一切平移变换的指数函数

方法推广: 反函数定义域=原函数值域，$e^{x+1}>0$ 故 $x>0$；指数整体 $x+1$ 反解后再化简

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2008-重庆文-06 单-指数型反函数
• 2010-大纲Ⅱ文-04 单-对数反函数