2006-天津文-18 解-独立重复试验概率

本题导读

本题考查独立重复试验与对立事件概率。核心在于独立重复试验公式与对立事件。

📌【题干】

Question

（2006年天津卷(文)） 甲、乙两台机床相互没有影响地生产某种产品，甲机床产品的正品率是 $0.9$，乙机床产品的正品率是 $0.95$。 （1）从甲机床生产的产品中任取 $3$ 件，求其中恰有 $2$ 件正品的概率（用数字作答）； （2）从甲、乙两台机床生产的产品中各任取 $1$ 件，求其中至少有 $1$ 件正品的概率（用数字作答）。

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) 独立重复试验：$C_3^2(0.9{)}^2(0.1)=0.243$。
2. (2) 对立事件（两件都是次品）：$1-(0.1)(0.05)=0.995$。

✅【答案】

Success

(1)$0.243$

(2)$0.995$

✍【详细解析】

Abstract

（1）甲机床产品正品率 $0.9$，次品率 $0.1$。任取 3 件恰有 2 件正品，属独立重复试验： $P_1={\mathrm{C}}_3^2(0.9{)}^2(0.1{)}^1=3\times 0.81\times 0.1=0.243$。

（2）两机床各取 1 件，“至少有 1 件正品”的对立事件是”两件都是次品”，其概率为 $(1-0.9)(1-0.95)=0.1\times 0.05=0.005$。 故 $P_2=1-0.005=0.995$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：独立重复试验概率

核心方法：独立重复试验公式 + 对立事件

避坑指南：(1) 恰 2 件正品用 ${\mathrm{C}}_3^2(0.9{)}^2(0.1)$；(2)“至少 1 件正品”用对立事件 $1-0.1\times 0.05$，比直接分类简单且不易漏

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 独立重复试验与对立事件是概率模块的固定组合。

结论推广: $n$ 次独立重复试验恰发生 $k$ 次：$mathrm{C}_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$；“至少”问题常取对立事件。

方法推广: (2) 用对立事件 $$\begin{gathered} 1-P( \\ text两件都次品) \end{gathered}$$ 一步到位，比分类列举简洁且不易漏。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

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