2006-天津文-14 填-圆的方程

本题导读

本题考查圆的方程。

📌【题干】

Question

（2006年天津卷(文)） 若半径为 $1$ 的圆分别与 $y$ 轴的正半轴和射线 $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$（$x⩾0$）相切，则这个圆的方程为____。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 圆与 $y$ 轴正半轴相切且半径为 1，圆心横坐标 $x_0=1$。
2. 射线 $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$ 即直线 $x-\sqrt{3}y=0$（倾斜角 $30^{\circ }$），圆心到其距离为 1。
3. 由 $\frac{|x_0-\sqrt{3}{y}_0|}{2}=1$ 及 $x_0=1$ 解 $y_0=\sqrt{3}$。
4. 方程 $(x-1{)}^2+(y-\sqrt{3}{)}^2=1$。

✅【答案】

Success

$(x-1{)}^2+(y-\sqrt{3}{)}^2=1$

✍【详细解析】

Abstract

设圆心 $C(x_0,y_0)$，半径为 1。 与 $y$ 轴正半轴相切 $\Rightarrow$ $x_0=1$（圆心到 $y$ 轴距离等于半径）。 射线 $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$（$x⩾0$）即直线 $x-\sqrt{3}y=0$，圆心到它的距离等于半径： $\frac{|x_0-\sqrt{3}{y}_0|}{\sqrt{1+3}}=\frac{|1-\sqrt{3}{y}_0|}{2}=1$。 因圆在射线右上方（与 $y$ 轴正半轴和 $30^{\circ }$ 射线围成的角内），取 $1-\sqrt{3}{y}_0=-2\Rightarrow y_0=\sqrt{3}$。 故圆心 $(1,\sqrt{3})$，圆的方程为 $(x-1{)}^2+(y-\sqrt{3}{)}^2=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的方程

核心方法：由相切条件定圆心坐标，写标准方程

避坑指南：圆与 $y$ 轴正半轴相切给 $x_0=1$（圆心到 $y$ 轴距离=半径）；到射线距离 $\frac{|1-\sqrt{3}{y}_0|}{2}=1$ 要取正确的符号得 $y_0=\sqrt{3}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 圆的方程由相切条件确定，是解析几何基础题。

结论推广: 圆与直线（射线）相切 $iff$ 圆心到直线距离=半径；与 $y$ 轴相切 $iff$ $|x_0|=r$。

方法推广: 由”与 $y$ 轴正半轴相切”定 $x_0=1$，再由到射线的距离定 $y_0$，两步定位圆心。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2010-新课标Ⅰ文-13 填-圆的切线方程
• 2013-山东卷理-09 单-圆的切线方程
• 2012-湖南卷文-21 解-椭圆方程与双切线