2004-上海卷文-08 填-圆的方程

本题导读

本题考查圆的标准方程的求法。

📌【题干】

Question

（2004年上海卷(文)） 圆心在直线 $x=2$ 上的圆 $C$ 与 $y$ 轴交于两点 $A(0,-4)$，$B(0,-2)$，则圆 $C$ 的方程为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设圆心 $(2,c)$，由 $|CA|=|CB|$：$(c+4{)}^2=(c+2{)}^2$。
2. 解得 $c=-3$，圆心 $(2,-3)$。
3. $r^2=|CA{|}^2=2^2+1^2=5$，方程 $(x-2{)}^2+(y+3{)}^2=5$。

✅【答案】

Success

$(x-2{)}^2+(y+3{)}^2=5$

✍【详细解析】

Abstract

设圆心为 $C(2,c)$.因为 $A(0,-4)$、$B(0,-2)$ 是圆与 $y$ 轴的交点，圆心到两点的距离相等，故 $(c+4{)}^2=(c+2{)}^2$，解得 $c=-3$，圆心为 $(2,-3)$.半径的平方 $r^2=|CA{|}^2=(0-2{)}^2+(-4+3{)}^2=5$.因此圆 $C$ 的方程为 $(x-2{)}^2+(y+3{)}^2=5$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆的方程
2. 核心方法：设圆心 $(2,c)$，由 $|CA|=|CB|$ 得 $(c+4{)}^2=(c+2{)}^2$，$c=-3$；$r^2=2^2+1^2=5$，圆 $(x-2{)}^2+(y+3{)}^2=5$
3. 避坑指南：圆心在 $x=2$ 上，用弦 $AB$ 的垂直平分线定圆心纵坐标；半径平方 $=$ 到 $A$ 距离平方 $4+1$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于圆的标准方程，教材”直线与圆”
2. 结论推广: 一般化：弦的垂直平分线过圆心，与圆心所在直线联立定圆心；由”到两交点等距”列方程定圆心，再算半径写方程

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2009-重庆卷文-01 单-圆的方程
• 2006-天津文-14 填-圆的方程
• 2011-辽宁卷文-13 填-圆的方程弦等距