2006-四川文-14 填-线性规划求最值

本题导读

本题考查线性规划，以及最值。

📌【题干】

Question

（2006年四川卷(文)） 设 $x$、$y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x⩾1,\\ y⩾\frac{1}{2}x,\\ 2x+y⩽10,\end{array}$ 则 $z=2x-y$ 的最小值为　　　　.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 可行域由 $x⩾1$、$y⩾\frac{x}{2}$、$2x+y⩽10$ 围成。
2. 顶点：$x=1$ 与 $y=\frac{x}{2}$ 交于 $(1,\frac{1}{2})$；$x=1$ 与 $2x+y=10$ 交于 $(1,8)$；$y=\frac{x}{2}$ 与 $2x+y=10$ 交于 $(4,2)$。
3. 代入 $z=2x-y$：$(1,\frac{1}{2})\to \frac{3}{2}$，$(1,8)\to -6$，$(4,2)\to 6$。
4. 最小值为 $-6$。

✅【答案】

Success

$-6$

✍【详细解析】

Abstract

可行域由三条直线围成，其顶点为 $\left(1,\frac{1}{2}\right),(1,8),(4,2).$ 分别代入目标函数 $z=2x-y$： $\left(1,\frac{1}{2}\right):z=\frac{3}{2},(1,8):z=-6,(4,2):z=6.$ 故 $z=2x-y$ 的最小值为 $-6$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划求最值

核心方法：画可行域（$x⩾1,y⩾\frac{x}{2},2x+y⩽10$），$z=2x-y$ 在顶点 $(1,\frac{1}{2})$ 或 $(1,8)$ 取最小值 $-6$

避坑指南：目标函数 $z=2x-y$ 在可行域顶点处取最值，逐个代入比较；注意约束 $y⩾\frac{x}{2}$ 边界

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 线性规划可行域与目标函数最值

结论推广: 线性目标函数在可行域顶点取最值

方法推广: 画出可行域，逐个顶点代入比较

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 03.06 简单的线性规划

类题演练 (Links)

• 2008-北京文-06 单-线性规划最小值
• 2008-大纲Ⅱ文-06 单-线性规划最小值
• 2011-新课标Ⅰ文-14 填-线性规划
• 2012-安徽卷文-08 单-线性规划最值