2006-四川文-10 单-抛物线与梯形面积

本题导读

本题考查抛物线，以及直线。

📌【题干】

Question

（2006年四川卷(文)） 直线 $y=x-3$ 与抛物线 $y^2=4x$ 交于 $A$、$B$ 两点，过 $A$、$B$ 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为 $P$、$Q$，则梯形 $APQB$ 的面积为()

A. $36$　　　　　　　B. $48$　　　　　　　C. $56$　　　　　　　D. $64$

🔍【思路分析】

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1. 联立 $\{\begin{array}{l}y=x-3\\ y^2=4x\end{array}$，代入 $(x-3{)}^2=4x$，$x^2-10x+9=0$，$x=1$ 或 $9$。
2. 交点 $A(1,-2)$、$B(9,6)$。
3. 抛物线 $y^2=4x$ 准线 $x=-1$，垂足 $P(-1,-2)$、$Q(-1,6)$。
4. 梯形 $APQB$：两底 $AP$、$BQ$ 为水平线段，长分别为 $2$、$10$，高为 $A$、$B$ 的横坐标差 $8$。
5. 面积 $S=\frac{(AP+BQ)\cdot h}{2}=\frac{(2+10)\times 8}{2}=48$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

联立 $\{\begin{array}{l}y=x-3\\ y^2=4x\end{array}$，代入得 $(x-3{)}^2=4x$，即 $x^2-10x+9=0$，解得 $x=1$ 或 $x=9$，对应交点 $A(1,-2)$、$B(9,6)$． 抛物线 $y^2=4x$ 的准线为 $x=-1$，故垂足 $P(-1,-2)$、$Q(-1,6)$，两底 $AP=2$、$BQ=10$（水平方向长度），高为 $A$、$B$ 横坐标之差 $9-1=8$． 梯形 $APQB$ 的面积 $S=\frac{(AP+BQ)\cdot h}{2}=\frac{(2+10)\times 8}{2}=48,$ 选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线与梯形面积

核心方法：联立 $y=x-3$ 与 $y^2=4x$ 得交点，准线 $x=-1$，梯形高为弦在 $x$ 轴投影，用面积公式算 $48$

避坑指南：准线是 $x=-1$（$y^2=4x$ 焦点 $(1,0)$）；梯形面积用两底（$AP$、$BQ$ 竖线长）与高

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 直线与抛物线位置关系及几何量计算

结论推广: 抛物线 $y^2=2px$ 准线 $x=-\frac{p}{2}$

方法推广: 交点坐标与准线垂足构成梯形，用坐标算面积

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅱ文-15 填-抛物线中点弦面积
• 2008-大纲Ⅰ文-14 填-抛物线焦点三角形
• 2009-上海卷文-09 填-抛物线弦长
• 2008-陕西文-21 解-抛物线切线与向量垂直