2004-北京卷理-17 解-抛物线的定义与焦半径公式

本题导读

本题考查抛物线的定义与焦半径公式。核心在于焦半径定义法、设而不求点斜法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2004年北京卷(理)） 如图，过抛物线 $y^2=2px$ ($p>0$) 上一定点 $P(x_0,y_0)$ ($y_0>0$)，作两条直线分别交抛物线于 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$.

(1)求该抛物线上纵坐标为 $\frac{p}{2}$ 的点到其焦点 $F$ 的距离；

(2)当 $PA$ 与 $PB$ 的斜率存在且倾斜角互补时，求 $\frac{y_1+y_2}{y_0}$ 的值，并证明直线 $AB$ 的斜率是非零常数.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（焦半径计算）：根据抛物线定义，抛物线上任意一点到焦点的距离恒等于该点到准线 $x=-\frac{p}{2}$ 的距离，即 $d=x+\frac{p}{2}$。由已知的纵坐标代入抛物线方程求出横坐标 $x$，即可求得距离。
2. 第二问（斜率互补与定值证明）：
   • 转化斜率关系：两直线倾斜角互补且斜率存在，说明其斜率互为相反数，即 $k_{PA}+k_{PB}=0$。
   • 两点斜率公式化简：对于抛物线上的两点 $P(x_0,y_0)$ 和 $A(x_1,y_1)$，利用 $x=\frac{y^2}{2p}$ 可将斜率公式 $k_{PA}=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}$ 变形化简为仅含纵坐标的简式 $\frac{2p}{y_1+y_0}$。
   • 代数消元求解与证明：将化简后的斜率代入 $k_{PA}+k_{PB}=0$ 中，求出 $y_1+y_2$ 与 $y_0$ 的代数比例关系，进而表示出 $AB$ 的斜率 $k_{AB}$ 并判定其是否为非零常数。

✅【答案】

Success

(1) $\frac{5}{8}p$

(2) $\frac{y_1+y_2}{y_0}=-2$，$k_{AB}=-\frac{p}{y_0}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）求该抛物线上纵坐标为 $\frac{p}{2}$ 的点到其焦点 $F$ 的距离 设该点为 $M(x_M,y_M)$，已知 $y_M=\frac{p}{2}$。 将 $y_M$ 代入抛物线方程 $y^2=2px$ 中，得： ${\left(\frac{p}{2}\right)}^2=2p{x}_M⟹\frac{p^2}{4}=2p{x}_M⟹x_M=\frac{p}{8}$

根据抛物线的第一定义，抛物线 $y^2=2px$ 上任意一点到焦点 $F$ 的距离，等于它到准线 $x=-\frac{p}{2}$ 的距离。 因此，点 $M$ 到焦点 $F$ 的距离 $d$ 为： $d=x_M+\frac{p}{2}=\frac{p}{8}+\frac{p}{2}=\frac{5}{8}p$

答：该点到焦点 $F$ 的距离为 $\frac{5}{8}p$。

（2）当 $PA$ 与 $PB$ 的斜率存在且倾斜角互补时，求 $\frac{y_1+y_2}{y_0}$ 的值，并证明直线 $AB$ 的斜率是非零常数 因为直线 $PA$ 与 $PB$ 的倾斜角互补且斜率存在，设其倾斜角分别为 $\alpha$ 和 $\beta$，则 $\alpha +\beta =\pi$。 根据正切函数的诱导公式，有 $\tan \alpha =-\tan \beta$，即两直线的斜率互为相反数： $k_{PA}+k_{PB}=0$

由于点 $P(x_0,y_0)$， $A(x_1,y_1)$， $B(x_2,y_2)$ 均在抛物线 $y^2=2px$ 上，则它们满足： $x_0=\frac{y_0^2}{2p},x_1=\frac{y_1^2}{2p},x_2=\frac{y_2^2}{2p}$

计算直线 $PA$ 的斜率 $k_{PA}$： $k_{PA}=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}=\frac{y_1-y_0}{\frac{y_1^2}{2p}-\frac{y_0^2}{2p}}=\frac{2p(y_1-y_0)}{y_1^2-y_0^2}=\frac{2p(y_1-y_0)}{(y_1-y_0)(y_1+y_0)}=\frac{2p}{y_1+y_0}$

同理，计算直线 $PB$ 的斜率 $k_{PB}$： $k_{PB}=\frac{2p}{y_2+y_0}$

将 $k_{PA}$ 和 $k_{PB}$ 的代数简式代入关系式 $k_{PA}+k_{PB}=0$ 中： $\frac{2p}{y_1+y_0}+\frac{2p}{y_2+y_0}=0$ 由于 $p>0$，两边同除以 $2p$ 并通分变形： $\frac{(y_2+y_0)+(y_1+y_0)}{(y_1+y_0)(y_2+y_0)}=0⟹y_1+y_2+2y_0=0$ 移项整理得： $y_1+y_2=-2y_0$

由于定点 $P$ 满足 $y_0>0$，等式两边同除以 $y_0$： $\frac{y_1+y_2}{y_0}=-2$

下面计算并证明直线 $AB$ 的斜率 $k_{AB}$： $k_{AB}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{y_2-y_1}{\frac{y_2^2}{2p}-\frac{y_1^2}{2p}}=\frac{2p(y_2-y_1)}{y_2^2-y_1^2}=\frac{2p}{y_1+y_2}$

将已求得的 $y_1+y_2=-2y_0$ 代入上式中： $k_{AB}=\frac{2p}{-2y_0}=-\frac{p}{y_0}$

因为 $p$ 是抛物线的常数参数（$p>0$），且 $P(x_0,y_0)$ 是抛物线上的一个确定定点（$y_0>0$），所以 $-\frac{p}{y_0}$ 是一个确定的、不为零的常数。 即直线 $AB$ 的斜率 $k_{AB}=-\frac{p}{y_0}$ 为非零常数。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线焦半径公式 $r=x+\frac{p}{2}$；斜率互补转化模型 $k_1+k_2=0$；抛物线两点斜率的“纵坐标表达通式” $k=\frac{2p}{y_1+y_2}$。
2. 核心方法：纵坐标单变量设而不求消元法。
3. 避坑指南：
   • 常规建系设直线的计算繁冗：若本题采用常规的设直线 $AB:x=my+n$ 并与抛物线方程联立利用韦达定理求解，运算量极大且极易出错。对于开口向右的抛物线，将其看作以 $y$ 为自变量的函数（即 $x=\frac{y^2}{2p}$）进行斜率表达，能直接约去因式，大幅精简代数结构。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是 2004 年高考北京卷理科数学解答题的圆锥曲线大题（第 17 题位置），是考查抛物线经典“弦斜率定值”几何性质的教科书级母题。
2. 结论推广: 本题结论可推广为一切圆锥曲线的**阿波罗尼斯割线定理（Apollonius Secant Theorem）**变式。在抛物线 $y^2=2px$ 上，若动弦 $AB$ 两端点与定点 $P$ 连线的斜率满足线性加权关系 $\lambda k_{PA}+\mu k_{PB}=0$，则弦 $AB$ 的斜率 $k_{AB}$ 恒为定值，且其通用解析算式满足： $k_{AB}=\frac{\lambda -\mu }{\lambda +\mu }\cdot \frac{p}{y_0}$ 这一结论在现代射影几何的交比（Cross-ratio）与极点极线（Pole and Polar）理论中构成了解析证明的底层支撑。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 16.01 直线的倾斜角与斜率

类题演练 (Links)

• 1981-全国文-09 解-抛物线与直线的弦长及面积
• 2006-四川文-10 单-抛物线与梯形面积
• 2007-山东文-09 单-抛物线焦半径夹角