2006-全国卷II理-16 填-分层抽样方法

本题导读

本题考查统计学中频率分布直方图的读取以及分层抽样中各层样本量的计算。核心在于利用直方图小矩形的面积等于频率这一核心规律。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷II(理)） 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10000 人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）. 为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这 10000 人中再用分层抽样方法抽出 100 人作进一步调查，则在 $[2500,3000)$（元）月收入段应抽出$\underline{}$人.

🔍【思路分析】

破题导航

直方图核心规律：频率分布直方图中，每个小矩形的面积（ $\text{纵轴数值}\times \text{组距}$）等于该组数据对应的频率。 计算目标段频率：观察图表可得，每一组的组距为 $1500-1000=500$（元）。月收入段 $[2500,3000)$ 对应的小矩形高为 $0.0005$。计算其面积得到该段的频率。 应用分层抽样按比例计算样本数：分层抽样中，各层抽出的样本人数占总抽取人数的比例等于该层在总体中所占的频率。直接用总抽取人数 100 乘以该段频率即可。

✅【答案】

Success

$25$

✍【详细解析】

Abstract

解：首先，由频率分布直方图的横轴刻度可得，该直方图的组距为： $d=1500-1000=500\text{ （元）}$

观察图表可知，目标月收入段 $[2500,3000)$ 对应的小矩形的高度（ $\frac{\text{频率}}{\text{组距}}$）为： $h=0.0005$

根据频率分布直方图的几何意义，小矩形的面积等于该组的频率，故该收入段居民所占的频率为： $P=h\times d=0.0005\times 500=0.25$

现在采用分层抽样方法从总体中一共抽取 $N=100$ 人。 根据分层抽样按各层比例等度分配的原则，在 $[2500,3000)$ 月收入段应抽出的人数为： $n=N\times P=100\times 0.25=25\text{ （人）}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：频率分布直方图小矩形面积代表频率的底层概念、分层抽样的抽样比等比例性质。
• 核心方法：面积折算比例法。
• 避坑指南：
• 高频易错点：直接把纵轴的高度值 $0.0005$ 误认为是频率，或者误用总体 10000 人去相乘。
• 务必谨记纵轴代表的是 $\frac{\text{频率}}{\text{组距}}$，必须乘以组距 500 才能转化为频率。另外最终求的是从抽出的 100 人里分多少人，应乘以 100 而非 10000。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查概率统计基础图表读取与基本抽样理论的经典填空压轴题，旨在保证学生对直方图面积涵义的本质理解。 结论推广: 在任何一维样本数据的频率分布直方图中， 所有小矩形的面积总和恒等于 1。若某区间的频率为 $P_i$，在总容量为 $M$ 目标层中用分层抽样抽取 $m$ 个样本，则该区间分配到的样本数恒为 $m\cdot P_i$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.03 频率分布直方图中的数据计算
• 14.01 随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2007-浙江文-13 填-分层抽样计算
• 2009-湖南卷文-12 填-分层抽样
• 2010-北京文-12 填-直方图与分层抽样