2006-全国卷II理-02 单-正弦型函数的周期性

本题导读

本题考查利用二倍角公式化简三角函数解析式，并求解其最小正周期。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷II(理)） 函数 $y=\sin 2x\cos 2x$ 的最小正周期是()

A. $2\pi$　　　　　　　B. $4\pi$　　　　　　　C. $\frac{\pi }{4}$　　　　　　　D. $\frac{\pi }{2}$

🔍【思路分析】

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观察已知解析式结构，利用正弦的二倍角公式 $2\sin \theta \cos \theta =\sin 2\theta$ 进行倍角降次合并。 将合并后的标准正弦型函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的 $\omega$ 提取出来，套用最小正周期公式 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$ 求解。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解：对已知函数解析式进行二倍角变形： $y=\sin 2x\cos 2x=\frac{1}{2}(2\sin 2x\cos 2x)$ 应用公式 $2\sin \theta \cos \theta =\sin 2\theta$，令 $\theta =2x$ 代入可得： $y=\frac{1}{2}\sin (2\times 2x)=\frac{1}{2}\sin 4x$

此时，该正弦型函数的角速度系数 $\omega =4$。 根据正弦型函数的最小正周期计算公式，可得： $T=\frac{2\pi }{|\omega |}=\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：二倍角正弦公式的逆向运用、正弦型复合函数求周期通式。
• 核心方法：两角和差与倍角合并法。
• 避坑指南：变换时千万不要忽略前面的系数 $\frac{1}{2}$（虽然不影响周期的计算，但关系到解析式的正确性）；另外公式中分母是新角度的系数 $4$，不要误用原来的 $2$ 导致选错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查三角函数基础变形和性质的常规高频选择题，重在考查对基本倍角公式的熟练敏感度。 结论推广: 对于任意形如 $y=\sin \omega x\cos \omega x$ 的函数，其解析式恒等化简为 $y=\frac{1}{2}\sin (2\omega x)$，其最小正周期恒为 $T=\frac{\pi }{|\omega |}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2007-山东卷理-05 单-正弦型函数周期最值
• 2010-湖北卷文-02 单-正弦型函数的周期