2005-江西卷文-02 单-半角公式的给值求值

本题导读

本题考查半角公式的给值求值，以及万能公式中余弦的表达。

📌【题干】

Question

（2005年江西卷(文)） 已知 $\tan \frac{\alpha }{2}=3$，则 $\cos \alpha =$()

A. $\frac{4}{5}$　　　　　　B. $-\frac{4}{5}$　　　　　　C. $\frac{4}{15}$　　　　　　D. $-\frac{3}{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 万能公式 $\cos \alpha =\frac{1-{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}{1+{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}$。
2. 代入 $t=3$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

由万能公式，$\cos \alpha =\frac{1-{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}{1+{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}=\frac{1-9}{1+9}=-\frac{8}{10}=-\frac{4}{5}$，选 B． 注：答案册选项 A 误排为 $\frac{1}{5}$，原卷为 $\frac{4}{5}$，此处按原卷录入（不影响答案选择）．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：半角公式的给值求值

核心方法：万能公式 $\cos \alpha =\frac{1-{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}{1+{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}$

避坑指南：代入 $\tan \frac{\alpha }{2}=3$ 后 $1-9=-8$ 是负数，别丢负号；$\frac{\alpha }{2}$ 是终边确定的一支，$\cos \alpha$ 唯一

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 4 三角恒等变换

结论推广：万能公式：$\sin \alpha =\frac{2t}{1+t^2}$、$\cos \alpha =\frac{1-t^2}{1+t^2}$（$t=\tan \frac{\alpha }{2}$）

方法推广：见 $\tan \frac{\alpha }{2}$ 求整角三角函数值，万能公式一步到位，替代”拆角+象限定号”的分类讨论

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.03 积和转化与半角公式

类题演练 (Links)

• 2006-全国卷II理-02 单-正弦型函数的周期性
• 1992-全国卷理-02 单-正弦型函数的最小正周期
• 2020-新课标II文-13 填-同角三角函数