2006-全国卷II文-13 填-二项展开式常数项

本题导读

本题考查二项式定理，以及二项展开式的通项。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷II(文)） 在 ${\left(x^4+\frac{1}{x}\right)}^{10}$ 的展开式中常数项是____．（用数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 通项 $T_{r+1}=C_{10}^r(x^4{)}^{10-r}{\left(\frac{1}{x}\right)}^r=C_{10}^r{x}^{40-5r}$。
2. 令 $40-5r=0$，得 $r=8$。
3. 常数项为 $C_{10}^8=C_{10}^2=45$。

✅【答案】

Success

$45$

✍【详细解析】

Abstract

二项展开式的通项为 $T_{r+1}=C_{10}^r(x^4{)}^{10-r}{\left(\frac{1}{x}\right)}^r=C_{10}^r{x}^{40-5r}$． 令 $40-5r=0$，解得 $r=8$， 故常数项为 $C_{10}^8=C_{10}^2=\frac{10\times 9}{2}=45$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项展开式常数项

核心方法：通项 $T_{r+1}=C_{10}^r(x^4{)}^{10-r}{\left(\frac{1}{x}\right)}^r=C_{10}^r{x}^{40-5r}$，令 $40-5r=0$ 得 $r=8$，常数项 $C_{10}^8=45$

避坑指南：指数为 $0$ 得常数项，$40-5r=0\Rightarrow r=8$；$C_{10}^8=C_{10}^2=45$，别把 $r=8$ 对应成 $C_{10}^2$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 二项式定理求指定项，基础题

结论推广: 通项公式 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$，令字母指数为零

方法推广: 求常数项即令 $x$ 的指数为零解出 $r$，再代回系数

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2008-江西文-08 单-二项式定理常数项
• 2008-湖北文-02 单-二项式展开常数项
• 2008-大纲Ⅰ文-03 单-二项式系数