2006-全国卷II文-07 单-面面垂直求射影线段

本题导读

本题考查线面角，以及面面垂直。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷II(文)） 如图，平面 $\alpha \perp$ 平面 $\beta$，$A\in \alpha$，$B\in \beta$，$AB$ 与两平面 $\alpha ,\beta$ 所成的角分别为 $\frac{\pi }{4}$ 和 $\frac{\pi }{6}$，过 $A,B$ 分别作两平面交线的垂线，垂足为 $A^{\prime },B^{\prime }$，若 $AB=12$，则 $A^{\prime }{B}^{\prime }=$()

A. $4$　　　　　　　B. $6$　　　　　　　C. $8$　　　　　　　D. $9$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $A{A}^{\prime }\perp \beta$，故 $AB$ 与 $\beta$ 所成角为 $\angle AB{A}^{\prime }=\frac{\pi }{6}$，$A{A}^{\prime }=AB\sin \frac{\pi }{6}=6$。
2. $B{B}^{\prime }\perp \alpha$，故 $AB$ 与 $\alpha$ 所成角为 $\angle BA{B}^{\prime }=\frac{\pi }{4}$，$B{B}^{\prime }=AB\sin \frac{\pi }{4}=6\sqrt{2}$。
3. 由 $A{A}^{\prime }\perp A^{\prime }{B}^{\prime }$，$B{B}^{\prime }\perp A^{\prime }{B}^{\prime }$，且 $A{B}^2=A{A}^{\prime 2}+B{B}^{\prime 2}+A^{\prime }{B}^{\prime 2}$，得 $A^{\prime }{B}^{\prime }=\sqrt{144-36-72}=6$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\alpha \perp \beta$，$A{A}^{\prime }\perp$ 交线，$A{A}^{\prime }\subset \alpha$，故 $A{A}^{\prime }\perp \beta$， 所以 $AB$ 与平面 $\beta$ 所成的角为 $\angle AB{A}^{\prime }=\frac{\pi }{6}$，得 $A{A}^{\prime }=AB\sin \frac{\pi }{6}=12\times \frac{1}{2}=6$． 同理 $B{B}^{\prime }\perp \alpha$，$AB$ 与平面 $\alpha$ 所成的角为 $\angle BA{B}^{\prime }=\frac{\pi }{4}$，得 $B{B}^{\prime }=AB\sin \frac{\pi }{4}=12\times \frac{\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}$． 又 $A{A}^{\prime }\perp A^{\prime }{B}^{\prime }$，$B{B}^{\prime }\perp A^{\prime }{B}^{\prime }$，且 $A{A}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }$， 故在空间直角三角形中 $A{B}^2=A{A}^{\prime 2}+B{B}^{\prime 2}+A^{\prime }{B}^{\prime 2}$， 即 $A^{\prime }{B}^{\prime 2}=12^2-6^2-(6\sqrt{2}{)}^2=144-36-72=36$，故 $A^{\prime }{B}^{\prime }=6$． 故选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：面面垂直求射影线段

核心方法：$\sin \frac{\pi }{4}=\frac{B{B}^{\prime }}{AB}$，$B{B}^{\prime }=6\sqrt{2}$；$\sin \frac{\pi }{6}=\frac{A{A}^{\prime }}{AB}$，$A{A}^{\prime }=6$；$A^{\prime }{B}^{\prime }=\sqrt{A{B}^2-A{A}^{\prime 2}-B{B}^{\prime 2}}=6$

避坑指南：线面角的正弦是点到平面距离与斜线段长之比；$A^{\prime }{B}^{\prime }$ 用勾股 $A{B}^2=A{A}^{\prime 2}+B{B}^{\prime 2}+A^{\prime }{B}^{\prime 2}$，别直接相减

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 面面垂直背景下的线面角与射影，考查空间想象

结论推广: 线面角正弦等于点到平面距离除以斜线段长，$A^{\prime }{B}^{\prime 2}=A{B}^2-A{A}^{\prime 2}-B{B}^{\prime 2}$

方法推广: 垂直平面间可建立三垂直坐标，射影线段用勾股定理处理

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2008-陕西文-10 单-直二面角的线面角与射影
• 2009-大纲Ⅱ文-19 解-直三棱柱线面角
• 2010-大纲Ⅰ文-09 单-正方体线面角