2006-全国卷II文-03 单-二倍角求最小正周期

本题导读

本题考查二倍角公式，以及正弦型函数的周期。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷II(文)） 函数 $y=\sin 2x\cos 2x$ 的最小正周期是()

A. $2\pi$　　　　　　　B. $4\pi$　　　　　　　C. $\frac{\pi }{4}$　　　　　　　D. $\frac{\pi }{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由二倍角正弦公式 $\sin 2x\cos 2x=\frac{1}{2}\sin 4x$。
2. 正弦型函数 $y=\frac{1}{2}\sin 4x$ 的 $\omega =4$。
3. $T=\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

由二倍角公式 $\sin 4x=2\sin 2x\cos 2x$，得 $y=\sin 2x\cos 2x=\frac{1}{2}\sin 4x$． 故 $\omega =4$，最小正周期 $T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$． 故选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二倍角求最小正周期

核心方法：$y=\sin 2x\cos 2x=\frac{1}{2}\sin 4x$，最小正周期 $T=\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$

避坑指南：先用二倍角公式合并成 $\frac{1}{2}\sin 4x$，再套 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$；别把 $\omega$ 当成 $2$，$T=\frac{\pi }{2}$ 而非 $\pi$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源于二倍角正弦公式与正弦型函数周期，基础题

结论推广: $\sin 2x\cos 2x=\frac{1}{2}\sin 4x$，$T=\frac{2\pi }{|\omega |}$

方法推广: 化简成 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 后套周期公式，注意 $\omega$ 是合并后的角频率

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2008-江苏卷-01 填-三角函数周期
• 2008-浙江文-02 单-三角化简求周期
• 2009-江西卷文-04 单-三角函数周期