2006-全国卷I理-02 单-对数函数的运算性质

本题导读

本题考查互为反函数的曲线对称特征，以及对数复合函数解析式的推导。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷I(理)） 已知函数 $y={\text{e}}^x$ 的图象与函数 $y=f(x)$ 的图象关于直线 $y=x$ 对称，则()

A. $f(2x)={\text{e}}^{2x}$ ($x\in \mathbf{R}$)　　　　　　　　B. $f(2x)=\ln 2\cdot \ln x$ ($x>0$)

C. $f(2x)=2{\text{e}}^x$ ($x\in \mathbf{R}$)　　　　　　　　D. $f(2x)=\ln x+\ln 2$ ($x>0$)

🔍【思路分析】

破题导航

根据两函数关于直线 $y=x$ 对称的性质，确定 $y=f(x)$ 是 $y={\text{e}}^x$ 的反函数，从而写出 $f(x)=\ln x$。 将自变量 $x$ 替换为 $2x$，利用对数的乘法转加法性质展开化简。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解：因为函数 $y={\text{e}}^x$ 的图象与函数 $y=f(x)$ 的图象关于直线 $y=x$ 对称， 所以 $y=f(x)$ 是指数函数 $y={\text{e}}^x$ 的反函数。 故 $f(x)=\ln x$ ($x>0$)。

将自变量 $x$ 整体替换为 $2x$ 可得： $f(2x)=\ln (2x)$

利用对数的运算性质 $\ln (ab)=\ln a+\ln b$，展开得： $f(2x)=\ln x+\ln 2(x>0)$

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：指数函数与对数函数的互逆反函数关系、对数基本积化和公式。
• 核心方法：整体自变量代换法。
• 避坑指南：注意对数的积化和性质是 $\ln (2x)=\ln 2+\ln x$，不要与错项 $\ln 2\cdot \ln x$ 混淆。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题考查反函数与对数运算性质，源于高一必修一关于指数与对数互逆关系的标准教学要求。 结论推广: 若 $f(x)={\log }_{a}x$，则对任意正实数参数 $\lambda$，恒有 $f(\lambda x)={\log }_{a}x+{\log }_a\lambda$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2007-大纲卷I理-08 单-对数运算性质
• 2007-天津卷理-05 单-对数函数指数函数互化