2005-天津卷文-02 单-对数与指数大小比较

本题导读

本题考查指对数函数的单调性传递，核心在于利用底数与 $1$ 的大小关系确定不等号方向并保序。

📌【题干】

Question

（2005年天津卷(文)） 已知 ${\log }_{\frac{1}{2}}b<{\log }_{\frac{1}{2}}a<{\log }_{\frac{1}{2}}c$，则()

A. $2^b>2^a>2^c$　　　B. $2^a>2^b>2^c$　　　C. $2^c>2^b>2^a$　　　D. $2^c>2^a>2^b$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ 在 $(0,+\infty )$ 上递减，去对数不等号反向：$b>a>c$。
2. $y=2^x$ 递增，保序：$2^b>2^a>2^c$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

因为对数函数 $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ 在正数范围内单调递减，所以 $b>a>c$． 又因为指数函数 $y=2^x$ 单调递增，故 $2^b>2^a>2^c$． 因此选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数与指数大小比较

核心方法：减函数同号去对数，增函数保序

避坑指南：${\log }_{\frac{1}{2}}x$ 递减 $\Rightarrow b>a>c$，再由 $2^x$ 递增保序得 $2^b>2^a>2^c$；底小于 $1$ 时对数不等号要反向

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：指数对数比大小的经典结构

结论推广：同底对数（减函数）中间量传递，同底指数（增函数）保序传递

方法推广：“减函数去对数反号、增函数去指数同号”口诀化；三个量两步传递写成链条

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2010-大纲卷II理-02 单-对数
• 2006-全国卷I理-02 单-对数函数的运算性质