2006-全国卷I文-22 解-三次函数单调含参讨论

本题导读

本题考查利用导数研究单调性。核心在于导数定单调区间、含参分类讨论。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷I(文)） 设 $a$ 为实数，函数 $f(x)=x^3-a{x}^2+(a^2-1)x$ 在 $(-\infty ,0)$ 和 $(1,+\infty )$ 都是增函数，求 $a$ 的取值范围．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求导 $f^{\prime }(x)=3x^2-2ax+(a^2-1)$。
2. 要使 $f$ 在 $(-\infty ,0)$、$(1,+\infty )$ 都增，需 $f^{\prime }(x)\ge 0$ 在这两区间恒成立。
3. 讨论 $f^{\prime }(x)$ 的零点分布，转化为关于 $a$ 的条件。

✅【答案】

Success

$a\in \left(-\infty ,-\frac{\sqrt{6}}{2}\right]\cup [1,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

$f^{\prime }(x)=3x^2-2ax+(a^2-1)$，这是开口向上的二次函数． 要使 $f(x)$ 在 $(-\infty ,0)$ 与 $(1,+\infty )$ 上均为增函数，需 $f^{\prime }(x)\ge 0$ 在这两个区间上恒成立， 即 $f^{\prime }(x)$ 的非负区间应包含 $(-\infty ,0)\cup (1,+\infty )$，其零点（若有）应落在 $[0,1]$ 内． $f^{\prime }(x)$ 的判别式 $\Delta =(-2a{)}^2-4\cdot 3\cdot (a^2-1)=4a^2-12a^2+12=12-8a^2$． 情形一：$\Delta \le 0$，即 $12-8a^2\le 0$，$a^2\ge \frac{3}{2}$，此时 $f^{\prime }(x)\ge 0$ 恒成立，满足条件， 得 $a\le -\frac{\sqrt{6}}{2}$ 或 $a\ge \frac{\sqrt{6}}{2}$． 情形二：$\Delta >0$，设两根为 $x_1<x_2$，需 $x_1\ge 0$ 且 $x_2\le 1$．由 $f^{\prime }(0)=a^2-1\ge 0$ 且 $f^{\prime }(1)=3-2a+a^2-1=a^2-2a+2=(a-1{)}^2+1>0$ 恒成立， 结合对称轴 $\frac{a}{3}\in [0,1]$ 与 $f^{\prime }(0)\ge 0$，解得 $1\le a<\frac{\sqrt{6}}{2}$（此区间与情形一 $a\ge \frac{\sqrt{6}}{2}$ 合并为 $a\ge 1$）． 综合得 $a\in \left(-\infty ,-\frac{\sqrt{6}}{2}\right]\cup [1,+\infty )$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三次函数单调含参讨论

核心方法：$f^{\prime }(x)=3x^2-2ax+(a^2-1)$，非负区间须覆盖 $(-\infty ,0)\cup (1,+\infty )$，按判别式与零点分布讨论

避坑指南：导数二次函数开口向上，零点（若有）须落在 $[0,1]$ 内；$\Delta \le 0$ 恒增的情形单独考虑，最后并区间得 $a\in (-\infty ,-\frac{\sqrt{6}}{2}]\cup [1,+\infty )$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源于导数研究三次函数的单调性，教材”导数在研究函数中的应用”

结论推广: 一般化：三次函数在某区间单调的充要条件是导函数在该区间不变号，转化为导函数零点分布

方法推广: 求导后分析二次导函数的零点分布，用判别式与端点值讨论参数的取值范围

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.04 三次函数性质全总结

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅰ文-21 解-导数单调性含参
• 2009-大纲Ⅰ文-21 解-导数单调与切线
• 2008-新课标Ⅰ文-21 解-导数切线定值