2006-全国卷I文-21 解-椭圆短轴端点距离最值

本题导读

本题考查椭圆的标准方程。核心在于设点消元配方讨论最值。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷I(文)） 设 $P$ 是椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+y^2=1$（$a>1$）短轴的一个端点，$Q$ 为椭圆上一个动点，求 $|PQ|$ 的最大值．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 取短轴上端点 $P(0,1)$（对称性）。
2. 设 $Q(x,y)$，由椭圆方程 $x^2=a^2(1-y^2)$，$y\in [-1,1]$。
3. $|PQ{|}^2=x^2+(y-1{)}^2$ 化为关于 $y$ 的二次函数，分 $a$ 的取值讨论最值。

✅【答案】

Success

当 $a\ge \sqrt{2}$ 时，$|PQ{|}_{\max }=\frac{a^2}{\sqrt{a^2-1}}$；当 $1<a<\sqrt{2}$ 时，$|PQ{|}_{\max }=2$

✍【详细解析】

Abstract

由对称性，取短轴上端点 $P(0,1)$（取 $P(0,-1)$ 结论相同）． 设 $Q(x,y)$，则 $\frac{x^2}{a^2}+y^2=1$，即 $x^2=a^2(1-y^2)$，且 $y\in [-1,1]$． $|PQ{|}^2=x^2+(y-1{)}^2=a^2(1-y^2)+(y-1{)}^2=(a^2+1)-(a^2-1)y^2-2y$． 令 $g(y)=(a^2+1)-(a^2-1)y^2-2y$，这是开口向下的二次函数，其对称轴为 $y=-\frac{1}{a^2-1}$． 当 $-\frac{1}{a^2-1}\ge -1$，即 $a\ge \sqrt{2}$ 时，最大值在 $y=-\frac{1}{a^2-1}$ 处取得， $g_{\max }=(a^2+1)+\frac{1}{a^2-1}=\frac{a^4}{a^2-1}$，故 $|PQ{|}_{\max }=\frac{a^2}{\sqrt{a^2-1}}$． 当 $1<a<\sqrt{2}$ 时，$-\frac{1}{a^2-1}<-1$，函数在 $[-1,1]$ 上递减，最大值在 $y=-1$ 处取得， 此时 $g(-1)=a^2(1-1)+(-1-1{)}^2=4$，故 $|PQ{|}_{\max }=2$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆短轴端点距离最值

核心方法：$|PQ{|}^2=(a^2+1)-(a^2-1)y^2-2y$，对称轴 $y=-\frac{1}{a^2-1}$，分 $a\ge \sqrt{2}$ 与 $1<a<\sqrt{2}$ 讨论

避坑指南：二次函数开口向下，最值点是否落在 $[-1,1]$ 内取决于 $a$，要分类讨论；$a\ge \sqrt{2}$ 时最值在对称轴，$1<a<\sqrt{2}$ 时在端点 $y=-1$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源于椭圆上动点到定点的距离最值，教材”椭圆”与二次函数最值

结论推广: 一般化：椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+y^2=1$ 上点到短轴端点的最大距离，随 $a$ 的取值分两种情形

方法推广: 用椭圆方程消去 $x$，把距离平方化为 $y$ 的二次函数，讨论对称轴是否在定义域内

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅰ文-15 填-椭圆定义离心率
• 2009-大纲Ⅰ文-12 单-椭圆准线向量
• 2008-新课标Ⅰ文-15 填-椭圆弦三角形面积